■高次方程式問題（3次以上）

●3次方程式の解と係数の関係

[A]３次方程式の解を利用する問題（2014年慶應大／理工11）

[B]３次方程式の解から係数を求める問題（2011年上智大／経済経営11）

[B]３次方程式の解の正負を調べる問題（2002年阪大／理系1）

[B]２つの３次方程式の実数解の問題（1991年京大文系4）

[C]３次方程式を決定する問題（2016年京大文系5） 
 

●n次方程式の解法
　２次方程式には解の公式があり、３次・４次の方程式にも代数的な解法が存在して必ず解を得ることができますが、５次以上の方程式には代数的な解は存在しないことがわかっています。代数的な解とは、加減乗除や開平法によって得られる解のことです。しかしながら、n次の最高次の項しかない方程式は、因数分解によって解くことができます。右辺が１の場合の解の概要を下図に示します。右辺が１ではない定数の場合の解は、下に示す解の定数倍です。３次や５次の場合は、三角関数と複素数の「ド・モアブルの定理」を使って解くこともできます。
　右辺が１の方程式は、２次の場合は因数分解で簡単に解け、４次の場合は２次の場合を拡張して解くことができます。３次や５次の場合はまずx=1が解であり、残る偶数個の解は２つずつ互いに共役複素数になります。そのため、三角関数と複素数の「ド・モアブルの定理」を使ってかならず解くことができますが、多項式のままで解くこともでき、これは「相反方程式」と呼ばれます。


●二項係数による方程式の係数の理解


●4次方程式の解法
[A]４次方程式の奇数次項を消去する問題（2010年横浜市大／医11）

[B]４次方程式の係数の値域の問題（2017年早大／商12）

[C]４次方程式を解く問題（2008年横浜市大／医4）

[C]４次方程式の複素数解の問題（2017年東工大5）

[C]4次方程式の解と係数の関係（2002年京大文3理3）


●5次方程式の解法
x^5=1の形の方程式はさまざまな方法で解くことができます。

■(t+1/t)の問題と相反方程式
入試頻出問題であり、相加平均≧相乗平均からｔ＞0の場合値域はt≧2となります。また(t+1/t)は「相反方程式」にも利用されるものです。
 
●t+1/tの問題
[B]t+1/tの応用問題（2008年早稲田大／商11）

[B]対数を使う２次分数式の最小値の問題（2018年愛知医大推薦入試2）

[B]x+1/xの応用問題（2014年自治医科大12）


３次以上の高次方程式を一般的に解くことは容易ではなく、次のいずれかの問題しか出題されません。

• 何らかの要因により、容易に因数分解できるもの。
• 複二次式（偶数次しか係数がなく、x2を置換して解くもの）
• 相反方程式（係数が左右対称的なもの）であるもの。

［入試問題］
[B]相反方程式の基本問題（2008年東海大理工農2）