HOME > ◎体積・弧長・媒介変数 > ■極方程式とその他の弧長積分

疑問点などのお問い合わせ はadmin@K-Kyogoku.comへお願いします。

■極方程式の問題

次に示すのは一般的に「リマソン曲線」と呼ばれるもので、極方程式が比較的簡単なので、入試問題によく取り上げられる主題です。曲線が極方程式で与えられている場合、面積、回転体体積や弧長積分は、極座標に変換して計算しますが、面積だけは極方程式専用の計算公式があります。

リマソン曲線の極方程式とグラフ

  • r=2+cosθ(2009年京大理系)
  • r=1+cosθ(2009年京大理系甲、2016年神戸大理系5)
  • r=2(1+cost)(2011年名古屋市大)



[入試問題]
[1] 極方程式が描く曲線の面積の問題
[B]極方程式が囲む面積を求める問題(2011年横浜市大/医3)

[B]デカルトの葉が囲む面積を求める問題(2015年横浜市大/医12)


[2] 極方程式が描く曲線の回転体の体積の問題(TypeB5
[D]原点と曲線両端を結ぶ図形の回転体の体積(2012年慶応大/医4)

[C]リマソン曲線の回転体の体積の問題(2009年京大/理系5)

[C]カージオイドの回転体の体積の問題(2011年名古屋市大/芸術4)


[3] 極方程式による弧長積分の問題
極座標・極方程式で表された曲線以外、すなわち直交座標で表された曲線の弧長問題も本項で解説します。
[例題]
[A]極方程式で表された曲線の弧長問題(2005年熊本大理系4)

[入試問題]
[C]カージオイドの極方程式から面積や弧長を求める問題(2016年神戸大理系4

■その他の弧長積分の問題

極座標と極方程式における弧長の積分の問題は■媒介変数表示曲線の問題で解説しました。本項ではそれら以外、主としてxy座標での弧長の積分の問題を解説します。この種の問題は、極座標の場合よりは一般的には難易度が上がります。ただし、双曲線関数の場合は難易度が低く頻出です。

[例題]
[B]双曲線関数の弧長積分の問題(2006年東京理科大/工22)

[B]陰関数の弧長積分の問題(2017年昭和大/医145

[入試問題]
[B]曲率中心の軌跡の長さの計算問題(2012年順天堂大/医15

[C]双曲線関数の積分/弧長の計算問題(2002年京大/理系4)

[C]放物線の弧長の積分問題(2014年横浜市大/医3