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■媒介変数曲線の積分の問題


●3種類の積分公式
極座標での積分は直交座標の積分を変数変換して得られますが、極方程式の場合の面積積分だけは計算公式があります。弧長積分も極方程式のための積分公式がありますが、公式がない場合は、極方程式から極座標に変換して実行します。


●媒介変数表示曲線が囲む領域の面積計算
この分野に共通する注意事項をあらかじめ解説しておきます。

[例題]
●サイクロイド例題

●カージオイド例題

●アステロイド例題


[入試問題]
[1] 一般的な媒介変数表示曲線の面積の問題
[B]極座標表示曲線が囲む面積の問題(2014年自治医大25)

[B]媒介変数表示曲線の問題(2018年阪大理系3)

[B]リサージュ曲線に関する基礎的な問題(2019年順天堂大/医13)

[C]極座標表示曲線の速度ベクトルの問題(2015年東工大4

[D]媒介変数表示曲線が囲む領域の面積の問題(2008年東大理科6)


[2] 典型的な媒介変数表示曲線の面積の問題
[B]サイクロイドが囲む面積を求める問題(2006年青山学院大/電気電子5)


[B]エピサイクロイド曲線のグラフと面積の問題(2016年東工大5)

[C]アステロイド曲線が囲む面積を求める問題(2014年慶應大/理工5)

[D]サイクロイド類似曲線が囲む面積を求める問題(2016年慈恵医大2)


[3] 極座標で表された回転体の体積の問題(TypeB4)
[B]サイクロイド曲線の回転体の体積の問題(2017年東京理科大/理工/情報2)

●ラメ曲線に関する問題
[C]絶対値記号付き媒介変数表示曲線の面積・体積の問題(2015年東京医科歯科大3

[C]アステロイド曲線の融合問題(2015年慶応大/医3)


[4] 極座標で表された弧長積分の問題

[C]極座標で表された曲線の弧長の極限の問題(2011年東大理科3)

[C]内サイクロイド曲線の弧長積分の問題(2017年日大/医5)

[C]カージオイドの弧長積分の問題(2005年岡山大/理系3)

[C]カージオイドの弧長積分の問題(2016年東海大/医22)


[5] 媒介変数表示曲線の問題
慶応大/医で出題頻度が高い媒介変数曲線の難問群です。
[C]2次曲線や弧長積分を組み合わせた媒介変数曲線の問題(2019年慶応大/医3)

[D]位置ベクトル・速度ベクトルに関する微積分応用問題(2016年慶大/医4)

[E]媒介変数表示曲線を回転した媒介変数表示曲線の問題(2018年慶応大/医4)