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中間値の定理と平均値の定理


 中間値の定理は微分の平均値の定理とともに利用することが多いのですが、中間値の定理だけを利用する問題もあります。平均値の定理には「微分の平均値の定理」と「積分の平均値の定理」の2つの種類があります。「平均値の定理」の証明には「ロルの定理」という基礎定理を補題として利用します。
 一般的に「平均値の定理」といえば「微分の平均値の定理」を意味しますが、積分の平均値の定理」はかなりの頻度で出題されています。しかし、青チャでは1つの証明問題としてしかあつかわれていないので要注意です積分の平均値の定理の証明は、「1999年京大理系後期6」の前半に含まれています



[中間値の定理・平均値の定理]
[B]中間値の定理・平均値の定理の典型問題(2013年日大/医4)

[B]中間値の定理・平均値の定理の典型問題(2017年東京理科大/理工/情報3)

[C]原始関数の定数差の証明問題(2014年阪大挑戦枠1)

[C]中間値の定理と極限の問題(2019年東大理科5)

[D]内分点と中間値の定理の問題(2014年東大理科4)

[D]区分求積法と平均値の定理を利用する難問(2006年芝浦工大)


[積分の平均値の定理]
積分の平均値の定理の応用問題は、かなりの頻度で出題されています。次の京大後期問題の前半は積分の平均値の定理の証明です。
[C]積分の平均値の定理の問題(1999年京大理系後期6)

[C]数列の無限和と積分不等式の問題(1992年東京医科歯科大1)
積分の平均値の定理でも図形を使っても解ける数列の無限和を求める問題です。