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■積分不等式問題

本項では、「積分を使って表現された不等式」を「積分不等式」と呼びます。積分不等式は、難関大では昔から頻出ですが、その傾向が難関大に限られるので、市販の参考書にはほとんど取り上げられていません。特に東京医歯大ではこの分野での出題が多いといえます。
微分不等式問題よりは難易度が高く、慣れておかなければ面食らう問題ですが、実は5つのジャンルに分類されます。多くは分数関数と対数関数の関係を利用します。

  • 積分区間を評価し被積分関数を置き換える問題
  • 図を描いて解く問題または積分の平均値の定理を使う問題
  • 無限級数への読み替えの問題
  • 数式の性質を利用する問題
  • その他の問題

1. 積分区間の大きさで評価する
[B]被積分関数を置き換える積分不等式の問題(1997年静岡大理系3)

[C]被積分関数を置き換える積分不等式の問題(2014年日大/医4)


2. 曲直線ではさむ
●矩形ではさむ
[B]分数関数を矩形ではさむ積分不等式の問題(2014年早稲田大/教育3)

[B]分数関数を矩形ではさむ積分不等式の問題(2013年日本医科大2)

[C]数列の無限和と積分不等式の問題(1992年東京医歯大1)

三角形ではさむ
[C]分数関数を三角形ではさむ積分不等式の問題(2010年東大理科2)

●台形ではさむ
[C]分数関数を台形ではさむ積分不等式の問題(2007年東大理科6)

曲線ではさむ
[C]分数関数を曲線ではさむ積分不等式の問題(2014年東京医科歯科大3)

面積を比較する
[C]面積比較で解く積分不等式の問題(2017年東京理科大/理/応用数学13)


3. 無限級数に置き換える
[C]分数関数の無限級数表示を利用する積分不等式の問題(2011年東京医科歯科大3)

[C]分数関数の無限級数表示を利用する積分不等式の問題(2012年名古屋市大理系3)


4. 数式の性質を利用する
[例題]
[C]積分シュワルツの不等式の問題(有名問題)

[入試問題]
[D]ガウス積分の不等式の問題(2014年日本医科大3)


5. その他の積分不等式の問題
[C]積分不等式の問題(2013年東京医科歯科大3)

[C]積分不等式を証明する問題(2015年阪大理系1)

[C]積分不等式を証明する問題(2016年慶應大/理工2)

[C]ガウス積分に関する積分不等式の問題(2019年阪大理1)

[D]逆関数と積分不等式の問題(2012年東京医科歯科大3)