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■複素数平面問題

複素数平面が有利なのは次の2点です。

  • xy座標を1つの複素数であつかえる(複素数の実部・虚部はxy座標に一致する)
  • 回転操作が容易(前指導要領では行列の担当範囲)

複素数平面上の問題は大きく次の6つの分野に分類できます。

  • (1) 複素数平面上の基礎問題
  • (2) 複素数平面上の図形の問題
    (3) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
  • (4) 複素数平面上の回転の問題
  • (5) 複素数平面上の数列の問題
  • (6) 高次方程式の問題

(1) 複素数平面上の基礎問題
[B]複素数平面上集合の問題(2017年慶應理工12)

[C]複素数平面上の解領域の問題(2017年東京理科大/理/応用数学2)

[C]複素数平面上の距離の問題(2016年慈恵医大12)

[C]複素数平面上zの関数|w|の最大値の問題(2005年東大理科2)

[C]実数解を持たない複数の2次方程式の解の配置の問題 (2018年東工大1)

[C]共役複素数の和の不等式を満たす最小自然数を求める問題(2019年京大理系6)


(2)複素数平面上の図形の問題
複素数は、極形式でもわかるように、大きさと偏角がその二大要素です。大きさの扱いは容易でしょうが、偏角の扱いには慣れが必要です。

[A]複素平面上の直線の問題(2014年阪大文系1)

[B]複素数平面上の直線の問題(2004年京都教育大)

[B]複素数平面上の円上の点の問題(2004年京大理系5)

[B]複素数平面上の鋭角三角形の問題(2016年東大理科4)

[C]複素数平面の正三角形の構成条件の問題(2005年京大理系3)

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題(2017年慈恵医大4)

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題(2016年兵庫県立大/理5)

[C]3つの複素数で正三角形を構成する問題(2017年順天堂大/医13)

[C]複素数平面上の三角形の形状と3次方程式の解の問題(2004年横浜国大/工3)

[C]複素数と図形と方程式の融合問題(2018年東大理科5)


(3) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
[B]複素数平面上の円の通過領域の問題(2004年京大後期文4理2)

[B]複素数平面上の写像の問題(2017年東大理科3)

[B]複素数平面上の軌跡の問題(2017年京大理系1)

[C]複素数平面上の写像の問題(2017年早大/理工1)

[C]複素数平面上の円弧の問題(2003年東大理科2)

[C]複素数平面上の写像と領域の面積の問題(2019年慈恵医大4)


(4) 複素数平面上の回転の問題
[B]放物線上の正三角形の問題(2004年東大文1理1)
60度回転に複素数を利用する問題です。

[C]立方体の対角線の周りの回転の問題(2005年青山学院/理工4)
立方体の斜めの回転にベクトルと複素数が使えるという名問です。

[D]複素平面内の回転した領域に含まれる格子点の数の問題(2019年東工大3


(5) 複素数平面上の数列の問題
[B]複素数平面上の数列の総和の問題(2017年早大/政経12)

[B]複素数平面上の数列の周期の問題(2001年京大理系3)

[B]複素数の漸化式の問題(2013年東大理科1、改題)

[B]複素数の数列の極限の問題(2013年慶應大/理工5)

[B]複素数の漸化式の問題(2002年京大理系6)

[C]複素数列と確率の融合問題(2019年阪大理2)

[C]複素数の漸化式の問題(2005年北大/理系4)

[C]複素数の漸化式の問題(2004年名大/経済31)

[C]複素数平面上の数列の問題(2001年東大理科4)

[D]複素数の数列と場合の数の問題(2001年京大理系5)


(6) 高次方程式の問題
[B]複素数平面上の5乗根の問題(2016年東京理科大/理工/情報13)

[B]n乗根の問題(2017年昭和大/医111)

[B]複素数平面上の7乗根と正三角形の問題(2019年順天堂大/医11)

[C]複素数平面上の7乗根の問題(2017年日本医科大2)

[C]1の7乗根に関する三角関数と複素数平面の問題(2018年慶応大/医3)


[C]複素数平面上の5乗根と確率の問題(2017年阪大理系2)

[C]4次の実数係数方程式の複素数解の問題(2017年東工大5)

[D]4次の実数係数方程式の複素数解の問題(2019年東大理科6)