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■2次曲線問題の解き方

●3種類の2次曲線
○楕円と双曲線
楕円は「2つの定点からの距離の和が一定である曲線」として定義され、双曲線は「2つの定点からの距離の差が一定である曲線」として定義されます。この定義を従来の定義と比較すると、距離の和は2a、距離の差は±2aです。この定義は、x軸との交点の座標を考えると確認できます。
この関係から離心率eを定義すると、e<1は楕円の場合、e>1は双曲線の場合に相当し、続いてe=1の場合は、放物線に相当します。
楕円と双曲線のパラメータを別の頁で解説しておきます。放物線については右図に示します。
○放物線
放物線の第2の定義は、「焦点と準線からの距離が等しい曲線」です。放物線では、曲線上の点(x,y)から準線x=-pに下ろした垂線の長さと点(x,y)から焦点(p,0)までの距離が等しい、という性質があります。これから導かれた放物線の形式が「y2=4px」です。
入試では、これらの「距離の和・差による定義」を確認する問題が非常に高頻度に出題されます。
○2次曲線に関する頻出問題
2次曲線に関する問題の中での頻出問題は次の3つです。

  • 焦点との距離の和・差などの曲線の定義に関する問題
  • 焦点・準線・準円などに関する問題
  • 曲線に交差する直線の交点の中点の軌跡の問題

これらの問題は各曲線ごとに紹介し、続いて特論を2つ紹介します。

●楕円 ●双曲線 ●放物線 ●2次曲線の通過領域 ●2次曲線の回転

●2次曲線の値域の評価

2次曲線は、値域の観点から、次のようにも分類できます。

  • 楕円(x,yともに有限の範囲)
  • 放物線(x,yのいずれかが有限、他方が無限の半区間)
  • 双曲線(x,yともに一部が欠けた無限の半区間)

2次曲線に似た格好をした図形として「2直線の積」があります。

  • 2つの直線の積((ax+by+c)(dx+ey+f)=0に因数分解できる場合、x,yともに無限の範囲)

これらは次の一般形にまとめることができます。

つまり、2次の係数を調べれば、どの種の曲線かが判別できます。さらに、2次式の中にxy項があるときは、軸が回転されているということです(次問参照)。

[C]楕円上のx座標の最大値問題(2012年東大文科1)

この問題は数Ⅰか数Ⅱの範囲に属しますが、上のことをわかっていないと、解き初めに躊躇するでしょう。最大値や最小値があるということは、この2次曲線は楕円か放物線しかあり得ません。
上のパターンを区別するのは、大学数学の「線型代数」で「2次形式」と呼ばれる数学の範囲に属します。対角化行列を求めて、その固有値の符号でどのパターン化が区別できます。以降の詳細は、今後公開予定の「線型代数」の頁を参照してください。

次問は2次曲線らしく見えますが、1次式の積に関する問題です。
[B]1次式の積の問題(2017年昭和大/医143)


1次式の積にならない場合はこんな風に解く場合もあります。
[B]2次式の最大・最小の問題(1993年武蔵工大)

本問は、楕円上の座標を偏角を使って表して、これで与式の値を表し、最大値・最小値を計算します。初期位相が本問のπ/6のようにきれいには得られなくとも、計算できます。