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●2次曲線の回転


2次式Ax^2+Bxy+Cy^2のように「xyの項」がある場合には、うまく「回転すると楕円に戻り、Ax^2+Bxy-Cy^2の形式は双曲線に戻ります。

2013年獨協医大の問題の双曲線の回転の問題の解法を、順を追って詳しく解説します。この問題では、解法を指定していないため、加法定理を用いてもいいのですが、複素数平面の方がはるかに簡単です。2013年ではまだ行列を使った回転の方法も使えたのでしょうが、ここでは現在許される複素数平面を使った解法を目標とします。

元の座標を(x,y)、回転した後の座標を(X,Y)とすると、それらの間の座標変換は次のようになります。

しかしこれでは、実用的には(X,Y)から(x,y)への回転です。(x,y)で記述された方程式を(X,Y)で記述された方程式に変換するには、上の逆の変換が必要です。

この関係を(x,y)で記述された方程式に代入すれば、(X,Y)で記述された方程式が得られます。もっと簡単につくるには、(x,y)から(X,Y)への変換を逆回転すればよいので、「-θの回転」と考えればもっと簡単に変換式が得られます。


次の例題2題をマスターして再度2013年獨協医大の問題に挑戦してください。
[B]楕円の回転の例題(新作問題)

[B]楕円の逆回転の例題(新作問題)