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●同じものを含む順列

[例題]
組合せの例題を再掲します。

まぎらわしいのが次の3つの場合の数の考え方です。

  • A:重複順列(異なるn個のものから重複を許してr個を取り出して並べた順列の総数)
  • B:同じものを含む順列(n個のもののうち、同じものが含まれているときの順列の総数)
  • C:重複組合せ(異なるn個のものから重複を許してr個を取り出す組み合わせの総数)

AとCの違いは上の例題でわかるでしょうから、AとBの違いを説明します。Aの場合は「異なるn個のもの」のそれぞれの個数には上限がないのですが、Bの場合は「ものによって個数の上限がある」上に「あるものすべてを並べなければならない」ので、重複しない順列から始めて、重複度で割る必要があります。具体例で説明します。

  • [重複順列]a、b、cの3つの記号を重複を許して6個並べる並べ方は3^6=729通り。
  • [同じものを含む順列]aが3個、bが2個、cが1個ある、この6個の並べ方は(3+2+1)!/3!2!1!=60通り。
  • [重複組合せ]a、b、cの3つの記号を重複を許して6個選ぶ組合せの数は3H6=8C6=8C2=28通り。

[例題]
[A]場合の数の問題(2016年慶応/医11)

[B]同じものを含む順列の例題(2010年関西学院大/理工1)
[同じものを含む順列]に関しての典型的な「最短経路問題」です。他の問題はこの問題のバリエーションです。

[B]格子の中に空白がある場合の例題(新作問題)

[入試問題]
[B]各桁の数が順に大きくなる4桁の数の問題(2015年日大/医24

[C]碁盤上に碁石をおく場合の数の問題(2016年慶應大/総合政策1)

[C]立方体の各面を塗る場合の数の問題(2016年順天堂大/医11)

[C]一筆書きの数の問題(2008年京大文系5)

[C]同じものを含む円順列の問題(2018年慶応大/医13)