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[1] 不定方程式・不等式として解く問題

不定方程式とは、方程式の数よりも未知数の数が多い方程式です。一般的に、方程式の数と未知数の数が同じ場合にはかならず方程式の解が定まりますが、方程式の数が未知数の数がより少ない場合は、解が1つに定まりません。しかしここで、「整数」という条件があれば整数解解が定まることがあります。そして整数問題が不定方程式に帰着できる場合には比較的簡単な問題です。同様に不等式の場合も、得られる範囲から整数解が得られます。

不定方程式にもヒントがあります。
●整数と自然数はどう違う?
「自然数」とある場合は、かならず「自然数は正の整数」という条件を利用します。
●与えられた条件はかならず使う。
「2より大きい」などという変わった条件があったら、「その条件を使わなければ解けない」ということです。
●2次式の場合は、置き換えと次の組合せを考えます。

  • 解の公式・判別式
  • 因数分解・素因数分解
  • 平方和に変形

●2次式の分類
2次式「ax^2+2bxy+cy^2+dx+ex+f」は次のいずれかを表し、その結果実数の範囲は()の中に表示した範囲になります。ただし回転がかかっているので一意的には言えません。これらに整数や自然数の条件が合わさると、有限数の格子点に限られます。

  • 2つの直線の積(x,yともにすべての実数)
  • 楕円(x,yともに有限区間)
  • 双曲線(一方が2つの無限区間、一方がすべての実数)
  • 放物線(一方が1つの無限区間、一方がすべての実数)

3次式や分数になると定型的な方法はなくなり、グラフも判別式も使えない反面、そうむずかしい問題は出なくなるので、次のいずれかの方法で解けるはずです。

  • 因数分解・素因数分解
  • 場合を尽くす


●1次式・2次式の問題
[A]整数の不定方程式のやさしい問題(2016年横浜市大/医12)

[B]計算で解ける整数に関するさまざまな小問題

[B]因数分解と素因数分解で解く問題(2013年一橋大1)

[B]2次式をみたす自然数を求める問題(2007年大分大/医1)

[B]平方根=nとおいて因数分解と素因数分解で解く問題


[C]対称型の不定方程式を解く問題(2017年一橋大2)

[C]3変数の不定整数方程式の2変数平方和の最小値の問題(2018年東工大2)

[C]2次方程式の素数解の問題(2013年獨協医大1)


●3次式・4次式の問題
[A]3次式を満たす整数の組の問題(2018年横浜市大/医11

[B]3次式の整数問題(2004年東京女子大)

[B]4次式の整数問題(1991年東京女子大)

[C]整数の3乗差の整数問題(2005年京大文4理4)

[C]整数の3乗差の整数問題(2009年一橋大1)

[C]不定方程式の解の数を求める問題(2013年日大/医2)

[C]4次方程式の解と係数の関係(2002年京大文3理3)

[D]x^n+y^n+z^n=xyz(2006年東大文4)
[D]x^n+y^n+z^n=xyz(2006年東大理4)


●分数和の問題
[A]分数和の整数問題(1998甲南大他多数)

[B]分数和の整数問題(2011年一橋大1)

[B]オイラーの多面体定理の問題(2010年阪大理系1)

[E]調和級数に関する整数問題の難問(2016年阪大理系4)


●不等式の問題
[B]不等式を使う整数問題(2002年京大文系5)

[B]不等式を使う整数問題(2012年慈恵医大11)

[B]2次不等式の整数問題(2008年一橋大1)

[B]2次式・3次式の整数不等式の問題(2015年東大文科1)

[C]不等式で解く整数の問題(2016年一橋大1)

[C]不等式を使う整数問題(2017年慈恵医大3)

[C]三角関数の整数問題(2017年京大文系4理系3)