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[8]「隣り合う整数は互いに素」を使って解く問題

この定理は、整数論上で常識中の常識なのですが高校の教科書にはありません。ですから使ってよいかどうかは微妙な問題です。試験においては、常識と考えて解いて、時間が余ったら証明しておく、くらいの話でしょうか。この定理を使うと、後は多くは約数・倍数を使う計算問題になります。

●「隣り合う整数は互いに素」の証明
「互いに素」ということは「共通の約数が1以外にはない」ということであり、「共通な約数があるとしたら1」ということを示します。逆にいうと、2つの整数に1以外の公約数がある場合は、その差は2以上です。証明はかなり論理的で最初はとっつきにくいでしょうが、我慢してください。
[証明]
隣り合う整数をn、n-1とし、これらに共通な約数mがあるとすると、a、b、mを正の整数として、
   n=ma、n-1=mb
と書けます。すると、辺々減じて、
   n-(n-1)=m(a-b)
となります。しかし左辺は「n-(n-1)=1」となるので、この関係式が成立するためには、a、b、mが正の整数であることから、
   m=a-b=1
しかない、すなわち共通な約数mは1、ということになります。2つの整数の共通因数が差1の約数でなければならないので、共通因数は1しかないということです。

[入試問題]
以下3問を解き比べてください。
[B]「隣り合う整数は互いに素」で解く数式の問題(2013年京大文系3)

[B]「隣り合う整数は互いに素」で解く証明問題(2012年東大理科4)

[C]「隣り合う整数は互いに素」で解く計算問題(2005年東大文2理4)



●合同式を使って解く問題

解説追加予定

[入試問題]
[D]割り算の数列の難問(2014年東大文4理5)