■複素数平面問題（数Ⅲ）のツボ

複素数平面が有利なのは次の２点です。

• xy座標を１つの複素数であつかえる（複素数の実部・虚部はxy座標に一致する）
• 回転操作が容易（前指導要領では行列の担当範囲）

複素数平面上の問題は大きく次の６つの分野に分類できます。
(1) 複素数平面上の基礎問題
(2) 複素数平面上の図形の問題
(3) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
(4) 複素数平面上の回転の問題
(5) 複素数平面上の数列の問題
(6) 高次方程式の問題

(1) 複素数平面上の基礎問題
[B]複素数平面上集合の問題（2017年慶應理工12）

[C]複素数平面上の解領域の問題（2017年東京理科大／理／応用数学2）

[C]複素数平面上の距離の問題（2016年慈恵医大12）

[C]複素数平面上zの関数wの最大値の問題（2005年東大理科2）

[C]実数解を持たない複数の２次方程式の解の配置の問題 （2018年東工大）
 
 
(2)複素数平面上の図形の問題
複素数は、極形式でもわかるように、大きさと偏角がその二大要素です。大きさの扱いは容易でしょうが、偏角の扱いには慣れが必要です。

[B]複素数平面上の直線の問題（2004年京都教育大）

[B]複素数平面上の円上の点の問題（2004年京大理系5）

[B]複素数平面上の鋭角三角形の問題（2016年東大理科4）

[C]複素数平面の正三角形の構成条件の問題（2005年京大理系3）

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題（2017年慈恵医大4）

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題（2016年兵庫県立大／理5）

[C]複素数平面上の三角形の形状と3次方程式の解の問題（2004年横浜国大／工3）

[C]複素数と図形と方程式の融合問題（2018年東大理科）


(3) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
[B]複素数平面上の円の通過領域の問題（2004年京大後期文4理2）

[B]複素数平面上の写像の問題（2017年東大理科）

[B]複素数平面上の軌跡の問題（2017年京大理系）

[C]複素数平面上の写像の問題（2017年早大／理工1）

[C]複素数平面上の円弧の問題（2003年東大理科2）

 
(4) 複素数平面上の回転の問題
[B]放物線上の正三角形の問題(2004年東大文1理1)
60度回転に複素数を利用する問題です。

[C]立方体の対角線の周りの回転の問題（2005年青山学院／理工4）
立方体の斜めの回転にベクトルと複素数が使えるという名問です。

 
(5) 複素数平面上の数列の問題
[B]複素数平面上の数列の総和の問題（2017年早大／政経12）

[B]複素数平面上の数列の周期の問題（2001年京大理系3）

[B]複素数の漸化式の問題（2013年東大／理系1、改題）

[B]複素数の数列の極限の問題（2013年慶應大／理工5）

[B]複素数の漸化式の問題（2002年京大理系6）
 
[C]複素数平面上の数列の問題（2001年東大理科4）

[C]複素数の漸化式の問題（2005年北大／理系4）

[C]複素数の漸化式の問題（2004年名大／経済31）

[D]複素数の数列と場合の数の問題（2001年京大理系5）

 
(6) 高次方程式の問題
[B]複素数平面上の５乗根の問題（2016年東京理科大／理工／情報13）

[B]n乗根の問題（2017年昭和大／医111）

[C]複素数平面上の7乗根の問題（2017年日本医科大2）

[C]複素数平面上の５乗根と確率の問題（2017年阪大理系2）

[C]４次方程式の複素数解の問題（2017年東工大5）