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●空間ベクトル四面体・四角錘問題

空間ベクトルに関する入試問題は四面体・四角錘問題が最多です。それは、この題材が3つの1次独立なベクトルをあつかうのに最も簡単で問題を作りやすいモデルだからです。正四面体の場合はすべての辺の長さが同一、正四角錘の場合は底面が正方形で多くの場合はすべての稜の長さが同一というように、条件が簡単になります。

●正四面体の問題
[B]正四面体内のベクトルの内積の問題(2014年自治医大19)

[B]正四面体内のベクトルの内積の問題(2015年横浜市大/医13)

[B]正四面体の中の正三角形の問題(2012年京大文2理2)

[B]正四面体内のベクトルの内積の問題(2012年東工大11)

[B]正四面体の直交する辺の問題(2012年横浜市大/医2)

[B]正四面体の底面と直線の交点の問題(2013年日大/医16)

[C]正四面体内のベクトルのなす角度の問題(2015年京大理系4)

[C]四面体内の2等分面と重心線の交点の問題(2010年聖マリアンナ医大1)


●正四面体と他の図形の問題
[B]正四面体と直角三角形の問題(2016年慈恵医大4)

[B]正四面体の中の正三角形の問題(2012年京大文2理2)

[C]正四面体の中の正八面体の問題(2017年京大理系2)

[C]正四面体の断面積の問題(2016年慶応大/医3)

[C]正四面体に関する証明問題(2016年京大文系4)


●四面体・正四角錘の体積の問題
[B]等稜四面体の体積の問題(2015年慈恵医大12)
正弦定理を利用した方が簡単な問題です。

[B]四面体の体積の問題(2014年日本医科大12)

[B]四面体の体積の問題(2013年東北大文2理2)

[C]四面体の高さを求める問題(2011年京大文系2)

[C]四面体の中の三角錐の体積比の問題(有名問題)

[C]四面体の体積の問題(2015年日大/医3)

[C]四面体の体積の問題(2015年東工大2)

[C]四面体の体積の問題(2017年慶應大/理工2)

[C]四面体の体積二等分平面の問題(2018年京大文4理6)

[D]正四角錘を切断した立体の体積の問題(2016年慶應大/経済5)


●四面体の外接球の半径の問題
[C]四面体の外接球の半径の問題(2017年横浜市大/医13)

[C]四面体の内接球の半径の問題(2017年早大/理工3)


●合同三角形が構成する四面体の問題
合同三角形が構成する四面体」というのがわかりにくいのですが、1つの三角形があれば、それを4枚組み合わせると、かならず1つの四面体が存在するということです。ここあたりはベクトル問題ではありませんが、重要な背景として紹介しておきます。
[C]合同三角形が構成する四面体の存在証明の問題(1999年京大後期理系4)

[C]合同三角形が構成する四面体の体積の問題(2014年早稲田大/教育14)

これらを知っていれば、次の問題群はそう難しい問題ではないと思います。

[C]合同三角形が構成する四面体の問題(2016年慶応/理工5)

[D]空間ベクトルとベクトル方程式の問題(2010年東大理科6)