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■三角関数

三角関数の基本公式はたった3つ!
実は三角関数の基本になる公式は「たった3つ」しかありません。

  • 正弦定理・余弦定理
  • ピタゴラスの定理(三角関数の基本定理)
  • 三角関数の加法定理⇒積和・和積公式

三角関数では、全部暗記するのではなく、「困ったらその場でつくれる(確認できる)」ことが必要です。暗記しても少し間違ったら大怪我します。暗記に埋没しては、数学のおもしろさはわかりません。おもしろくなくては入試にも受かりません。

三角関数の公式は次のような関係にあります。正弦定理は外接円が必要なので他の公式とは無関係です。ピタゴラスの定理は三角関数の定義と密接な関係にあります。そしてその他のすべての公式は加法定理から導かれます。

■三角関数の公式がわかれば解ける問題は非常に多い!
●基本問題
[A]三角関数の対称式の問題(2017年日大/医22)

[B]三角関数の問題(2013年慶応大/医11)

[B]三角関数の加法定理の応用問題(2017年慶應理工11)

[B]3/2倍角の余弦を求める問題(2013年東京医科大12)

[C]三角関数と無理数の応用問題(2019年横浜市大/医13)


●三角関数を使う平面図形問題
[C]円内の三角形の面積を最大化する問題(2015年阪大文系3)

[C]三角形の内接円の半径の問題(2006年京大理系後期4)

[C]三角形の面積を半端な変数値で最大化する問題(2013年一橋大2)

[C]円内接等脚台形に関する三角関数問題(2018年京大理系3)


●主として数Ⅲを使う図形問題
[C]三角形の辺長の2乗和を調べる問題(2002年京大理系2)

[C]三角形の3角の正弦の積の最大値を求める問題(1999年京大理系後期2)


●tanを使う問題(積和公式・加法定理)
sinやcosを使う問題はネタ切れで、最近はtanの問題が増えています。
[A]tanθ/2を利用する問題(2013年昭和大/医112)

[B]tanの性質を証明する問題(2014年埼玉大/教育22他)

[B]tan10°= tan20°tan30°tan40°の証明の問題(2013年千葉大10)

[B]tan加法定理を利用する問題(2010年京大理系2)

[B]tan加法定理を利用する問題(2015年東大文科3)

[B]tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題(2015年京大文2理2)

[C]tan加法定理を利用する問題(2017年日大/医3)

[C]tanの加法定理とシュワルツの不等式を使う問題(2013年東京医科歯科大1)


●三角関数を使った空間図形の問題
[C]円に内接する正三角柱の最大体積の問題(2014年大阪市大/経済3)

[C]四角柱を斜めに切る平面の面積の問題(2014年東大理科1)

[C]直方体の中の四面体の問題(2014年東京医科歯科大2)

[C]大円経路の計算問題(2008年京大理系6)