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■数と式の問題

本稿では応用問題を中心に構成していますが、その要素ごとの基礎的な内容にも重要な問題があるので、ここで整理します。
●式の展開と因数分解
高校数学では、「式の展開」と「因数分解」を逆の計算ととらえてほぼ同時に学び、方程式や因数定理もまったく別個に学びますが、実は因数分解は「方程式を解く基本」であり、この点をよく把握しないと、入試数学で思いもよらぬところでつまづきます。因数分解のキーポイントは次の3つです。

  • 対称式・交代式の因数分解
  • 3次式以上の因数分解
  • 置換のテクニックの利用

これらを順に解説します。
●対称式・交代式の因数分解
たとえばa,b,cの多項式f(a,b,c)でaとbを入れ替えて得られる数式 が元の多項式と変わらないとき、つまり
○f(a,b,c)=f(b,a,c) のときf(a,b,c)を「対称式」といいます。
○文字を入れ替えて符号が変わるとき、すなわち、f(a,b,c)=-f(b,a,c)を満たすとき、f(a,b,c)を「交代式」といいます。
こんな名前を憶えても何にもならないのですが、これら対称式と交代式の中には、そのまま因数分解が出題されたり、問題の中で因数分解が必要になったりします。
主な例題を上げておきましょう。
これらは難しそうに見えますが「展開し、次数が一番小さい文字で因数分解する」というのが基本方針であり、それさえできれば因数分解できます。ただし3次式の場合には2つだけ必要な公式があります。一方は因数分解、他方はその助けになる公式です。

「対称式」にかかわる問題は、横浜市大/医で頻出です。
[B]対称式の因数分解(2011年横浜市大/医12)

[B]対称式の整理の問題(2013年横浜市大/医11)

[B]対称式の計算問題(2017年昭和大/医141)

[B]対称式の計算問題(2017年慶應大/総合政策1)

[B]対称式の計算問題(2016年慶應大/経済1)

[C]3次1次対称方程式の解を求める問題(2014年横浜市大/医11)

●3次式以上の因数分解…因数定理の活用
3次式の1つの因数がわかっている場合の因数分解は考えずにできなければなりません。入試問題に出て来る3次式は因数分解できる場合が多く、次の3次式を因数分解する考え方を述べます。利用するのは「f(a)=0を満たすaが存在すればf(x)はx-aを因数に持つ」という因数定理です。

●置換の活用
これは例題で示します。慣れれば「置換したと思って計算できる」ようになります。その方が手っ取り早いのですが、間違うリスクと裏腹です。
[例題]


●その他の問題
その他の数式問題をまとめておきます。

  • t+1/tの問題
  • 変数の数と実数の最大値
  • 多項式を決定する問題
  • 連分数の問題


●t+1/tの問題
[B]t+1/tの応用問題(2008年早稲田大/商11)

[B]対数を使う2次分数式の最小値の問題(2018年愛知医大推薦入試2)


●変数の数と実数の最大値
入試の数学によく登場するのは「変数と定数の認識」です。今どれが変数でどれが定数なのか、ということをよく認識していないと隘路にはまります。変数が2次式を満たす場合のその変数の範囲は、多くの場合「判別式」で得られます。
[B]3つの対等な変数の1つの最大値の問題(2014年早稲田/人間科学2)

[B]3変数関数の最大値・最小値の問題(2017年阪大文系2)


●多項式を決定する問題
[B]多項式を決定する問題(2017年一橋大3)

●連分数の問題
[B]連分数の問題(2013年順天堂大/医12)