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三角不等式

三角不等式は、「三角形のいかなる2辺の長さの和も他辺の長さより大きい」という三角形の構成原則に根差しています。
  |a|+|b|≧|c|=|a+b|、|b|+|c|≧|a|=|b+c|、|c|+|a|≧|b|=|c+a|
逆に、「三角形のいかなる辺の長さも他2辺の長さの差より大きい」ということから
  |a|~|b|≦|c|=|a+b|、|b|~|c|≦|a|=|b+c|、|c|~|a|≦|b|=|c+a|
が成立します。
三角不等式は、表現からわかるようにすべての「ベクトル」に対しても成立し、等号成立はベクトルの向きが一致するときです。


この不等式は、両辺を2乗すると、シュワルツの不等式に帰着されます。三角不等式の等号成立条件は若干複雑で、ベクトルの場合は「向きが同じか反対か」、実数の場合は「符号が同じか逆か」です。

[入試問題]
[B]実数に関する三角不等式の問題(2008年学習院大他)

[B]三角不等式が使えるベクトルの問題(2012年青山学院大/経済32)
この問題は置き換えがキーポイントの、2乗しないで解いて欲しい問題です。

[C]三角不等式が使える無理関数の問題(2009年信州大/医3)
この問題では、無理関数の和の最小値を容易に求めることができます。

[C]三角不等式と無理数の問題(2017年阪大理系3)