■図形と計量は正弦定理と余弦定理だけではない!
図形と計量に含まれる問題は次の3つに大分されます。
- 正弦定理・余弦定理に関する問題
- 円と球に関する問題
- 四面体などの空間図形に関する問題
正弦定理・余弦定理は,図を思い出せれば証明を書き出すことは容易です。
●正弦定理を使う問題
「どの定理・公式を使えば解けるのか」気が付くのが難しいと言えば難しいのですが、それでも定理・公式を知らなければ解けません。そして、定理・公式になじんでいれば解ける問題を列挙します。正弦定理と余弦定理のどちらが便利かという場合には、次の2点を考えます。
- 正弦定理は1次の関係、余弦定理は2次の関係であり、前者だけで済むならそれに越したことはない。
- 正弦定理では3つの角が利用できるが、余弦定理で1つの角しか利用できない。
[B]正弦定理を使って外接円の半径を求める問題(2013年日大/医14)
[B]正弦定理を使って辺の長さを求める問題(2014年慶應大/理工12)
[B]鋭角三角形の問題(2016年東大文科1)
[C]三角形の内接円の半径の問題(2017年京大理系)
[C]正弦定理を使って解く問題(2014年京大理系3)
●余弦定理を使う問題
○まず最初にやさしい問題群です。
[A]余弦定理を使って解く問題(2011年京大文系11)
[B]余弦定理を使って解く問題(2012年広島大文系3)
[B]円に内接する四角形の問題(2017年日大/医13)
○次の2題は最初に2006年に出された問題の類題が他大学に出題されたものです。
[C]余弦定理を使って解く問題(2014年自治医大110)
[C]余弦定理を使って解く問題(2006年東大文系1)
○最後は応用問題です。
[B]余弦定理を使って解く四角形の問題(2015年慶應大/総合政策11)
[B]正弦定理・余弦定理を組み合わせる問題(2014年自治医大112)
[C]四角形の内部の三角形の内接円の半径の問題(2016年日本医科大11)
●円と球と四面体に関する問題
[B]等稜四面体の体積の問題(2015年慈恵医大12)
[B]正四面体の各辺に接する球の最大体積の問題(2015年慶應大/総合政策12)
[C]四面体に外接する球の半径の問題(2001年東大文1理1)