■数学入試の図形問題の解き方（数Ⅱ）

図形問題を解くには高校数学には大きく分けて1つの基礎、5つのテクニックがあり、問題によって使える方法が限られますが、どのテクニックを使うかが勝敗の分かれ目になります。

• 図形と方程式（数Ⅱ）
• 三角関数（数Ⅱ、角度のあつかいに便利）
• ベクトル（数B、角度と内分点のあつかいに便利）
• 複素数平面（数Ⅲ、回転のあつかいに便利）
• 2次曲線（数Ⅲ）

数Ⅲに含まれる2次曲線は、内容としてはそんなに難しいものではないので、文系受験生も理解しておく方が問題の背景がよく理解できます。これらの問題はお互いに共通する部分が多いのですが、余りに問題が多くなったので、あつかいにくくなり、上の5つに分割して収録しました。
 
●正領域・負領域の問題
　直線や曲線があれば、xy平面はその正領域・負領域に分割されます。「1次関数によって分割された正負領域の問題」や「２次関数によって分割された正負領域の問題」が、2015年愛知教育大や2005年京大で出題されています。
 
［例題］ 
[B]直線と正負領域の例題

[B]直線と正負領域の問題（2015年愛知教育大4）

[C]２次関数と正負領域の問題（2005年京大文1理1） 

 
●点と直線の距離の公式を使う問題
[B]３つの直線の内接円の問題（2014年早稲田大／人間科学3）

[B]３つの直線の内接円の問題（2014年横浜市大／医12）

 
●相加平均≧相乗平均の関係を使う図形問題（数Ⅱ）
[C]相加平均≧相乗平均を使う図形問題（2012年東大文科2）
 
[C]相加平均≧相乗平均だけでは解けない図形問題（2008年東大理科4）


●放物線と図形に関する問題（数Ⅱ）
[B]放物線と円の問題（2014年慶応大／理工14）

[C]放物線と円の問題（2012年慶応大／医3）

[C]放物線の３つの接線がつくる三角形の垂心の問題（2017年東京理科大／理／応用数学12）


●円の弦に関する問題
[B]円の弦がつくる三角形の面積の最大値の問題(2014年自治医大11)

[B]円の接線が他の円とつくる弦の長さの問題(2014年自治医大13)

[B]円の弦がつくる三角形の面積の問題（2011年東大理科1）
４つの解法を示します。先に答えが見つかれば簡単に解けます。数Ⅱの範囲でも解けます。
［解法1］「点と直線の距離の公式」と数Ⅲ微積分を利用する
［解法2］垂線の長さを計算する
［解法3］中心角に三角関数を利用する


 
●円の接線に関する問題
[B]2つの円の共通接線を求める（新作問題）
解いてみると結構計算が手ごわい問題です。いくつも解法がありますが、すべての方法に慣れておかないと、大変なことになります。こちらでは「円の接線の公式」も利用できます。

• ［解法1］「円の接線公式」と「点と直線の距離の公式」を利用する
  
• ［解法2］「点と直線の距離の公式」と直線の方程式を利用する
  
• ［解法3］直線の方程式と判別式＝0を利用する

[B]円と2つの接線に接する円の問題（2014年日大／医2）
 
[B]弦と弧が囲む領域を切る線分の長さの最大値の問題(2012年東大理科1)
 
[B]三角形の内外心の問題（2011年日本医科大1）

[C]円の内外接の問題(2009年東大文科1)

 
●少し変わった図形問題
次の２題は早慶出題合戦でしょうか。
[B]三角形の３頂点・３辺からの距離の平方和を最小にする問題（2016年慶應大／総合政策2）
 
 [C]直角三角形の内部点から３辺までの距離の平方和を最小化する問題（2017年早大／商13）

[B]2つの直線のなす角度を最大化する問題（2014年昭和大／医12）
角度をあつかうにはtanかベクトルの内積が必要です。

[C]等積変形の問題(2010年東大理科4)

[C]単位円上の回転移動の問題（2014年一橋大3）

 
●鏡像・円対称の問題
直線および円に対する対称の幾何学の問題を集めました。
[B]鏡像の問題（2013年日大／医13）
 
[B]鏡像の問題（2011年一橋大2）

[B]円対称の問題（2010年横浜市大／医2）