■数列や級数の極限

●数列・級数の極限の7つのパターン

数列・級数の極限は次の7つのパターンに分類されます。これだけです。関数の極限と比較すると、実数と自然数という違いはありますが、相手は∞なので、符号さえ一定ならば、ほとんど内容に違いはありません。大きく違う点を挙げるならば、区分求積法や階乗の登場です。

数列極限分類.gif

第7の関係を適用するには苦労する場合があります。説明の右下に全体像をまとめました。これが大きさのイメージです。
これらの証明は別頁で示します。
第6の関係の「eに収束する極限値」の計算は、二項定理を使って証明しますが、級数展開の情報が必要です。

e極限計算.gif
 
［数列極限の例題］
数列極限例題Q.gif
(6)区分求積法の例題は別に用意しました。
 
[B]指数関数と数列の極限の問題（2015年、京大理系）
2015年京大理系3Q.gif
[C]数列の極限の問題（2014年慶應大／理工）
2014慶應理工3Q.gif
[C]正五角形の面積比の無限級数の問題（2016年阪大理系5）
2016年阪大理系5Q.gif
[C]区分求積法ではない計算問題（2004年京大理系後期）
2004年京大理系後期1Q.gif
[D]極限値の問題（2012年、京大理系）
2013KyodaiS11Q.gif
 
●はさみうちの原理を利用する問題

[B]はさみうちの原理を使う数列極限の問題（2013年東北大理系）
2013年東北大Q.gif
[C]はさみうちの原理を使う数列極限の問題（2012年東工大4）
2012東工大4Q.gif
[C]計算できない数列の和の問題（2014年大阪大理系）
2014年大阪大／理系3Q.gif
[C]数列の無限和と積分不等式の問題（1992年東京医科歯科大）
積分の平均値の定理でも図形を使っても解ける数列の無限和を求める問題です。
積分平均値の定理Q.gif
 
[E]はさみうちの原理で円周率を評価する問題（2013年大阪大挑戦枠）
2013年大阪大挑戦枠Q.gif