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●2019年版 東大理科の数学入試問題の解説書(2015年-2019年)

はじめに
本書は、東大理科で出題された、直近5年分の数学入試問題を解き、分野別に整理し直し、分野ごとには難易度順に配列し直して、この1冊を学習すれば合格に近づける、最強の参考書として編集したものです。あまり古い問題では、出題傾向が最新のものと異なるので、古すぎる問題を解く必要はありません。
問題の解法には色々種類がありますが、主として、試験場で思いついて書くことができる、泥臭い解法を書きました。図版満載の上、計算過程もできるだけ端折らずに書いているので、読みやすいでしょう。その上で複数の解法が考えられる場合には、すべての解法を書きました。特に次の2つの事項に関しては、詳しい解説を加えてあります。
○2次曲線の分類
○体積積分の分類
●東大理科入試問題の難易度の低下
近年の東大理科の数学入試問題は、難易度が大きく下がり、本書の評価でいうと、例年必ずあったD評価(かなりの難問)が皆無なので、相当数の満点合格者がいるものと考えられます。
この理由は、東大が女子学生比率を2020年までに30%にするとの目標を掲げているため、「数学が苦手な女子生徒が入学しやすいようにしたのでは」との声もあります。
しかし、合格者に占める女子比率はわずか0.9%であり、女子生徒増を狙った効果が大きかったとは言えず、今後継続するかどうかはわかりません。とはいえ本書では今回、少しだけB問題を多くしました。BCレベル中心になるであろうことは予測できるからです。
●東大理科入試問題の傾向分析
東大理科の基本的な傾向は、次の諸点です。

  • ○ 融合問題が多い。
  • ○ 計算量が多い。
  • ○ Bレベル問題も出る。
  • ○ 微積分が頻出で、体積積分問題が多く、媒介変数曲線問題が少ない。
  • ○ 整数問題・確率問題は一般的に難問が多い。

驚くことに、「場合の数」「ユークリッドの互除法の問題」「2次曲線」「媒介変数表示曲線問題」は直近過去5年出題がありません。しかし油断大敵です。これらの分野も準備は必須です。東大のもっと古い過去問や、めぼしい良問を選んで予想問題として追加しました。当然ながら出題履歴のある問題に対しても、予想問題として他の難関大の問題を追加してあります。
[数Ⅰ]
融合問題が多いので、数Ⅰの範囲の問題を探すと、「図形と計量」の問題に限られてしまいます。この分野の問題は、平面幾何・空間幾何の知識と正弦定理・余弦定理およびその他の数学の知識を組み合わせて解く問題群です。中学までの幾何知識は必須です。
[数A]
東大では「場合の数」単独ではなく、確率の問題として出題されています。確率漸化式の問題の方がさらに難しくなります。2016年の「条件付き確率」の問題が新色です。確率の問題では、最初のいくつかの具体例で問題の本質を把握することがもっとも重要です。
整数問題では、2015年から ユークリッドの互除法の問題が追加されましたが、東大ではいまだ出題されていません。新指導要領の施行以降、整数問題も少しは易しくなるかと思いきや、東大の整数問題はおおむね、対策の立てようもない難問揃いです。
[数Ⅱ]
難関大の三角関数の問題の全国的な特徴は「半端な角度の三角関数」と「正接の加法定理」ですが、この傾向は東大も同じです。ただし、単独での出題ではなく応用問題として出題されます。
図形と方程式と文系微積分の問題は、東大では狙い目です。そう難しい問題は出題されないので、完答で満点狙いです。注意すべきは、相加平均≧相乗平均の関係を利用する問題が出題される可能性があることです。新指導要領施行以降は、4次関数の出題に対応しなければならないことも要注意です。
[数B]
数列問題の分野では、格子点問題はまず1つの重要分野です。東大では2011年や2017年など、数列問題でもかなり難しい問題が出題されます。漸化式問題は、東大では単独ではなく、かなり難しい確率漸化式の問題が出題されます。
空間ベクトル問題も単独の出題はなく、2019年も難問が出題されています。平面ベクトルの分野においては、最近の頻出問題に対応して、2019年から[平面ベクトルと軌跡・領域]という新領域を作りました。
[数Ⅲ]
直近過去5年では2次曲線問題と媒介変数表示曲線問題の出題がありません。複素数平面問題は、数年やさしい問題が続きましたが、2019年にはかなり難しい問題が出題されました。
極限問題は、2014年・2015年と、かなり手ごわい出題が続きました。ほぼ毎年、数Ⅲ微積分のやや難問か難問が出題されています。さらに東大理科では、体積積分対策も必須です。当該問題の補足で問題を分類してあります。
本書が東大理科合格の一助となれば幸甚です。
2019年4月
著者

目次
第1章 数Ⅰ
[2次関数]
2次関数と不等式領域の問題 (2018年東大文科) [B/A/B]
[図形と計量]
余弦定理を使って解く鋭角三角形の問題 (2016年東大文科) [B/A/B]
余弦定理と2次方程式を使って解く問題 (2006年東大文科) [B/B/C]
三角形の重心を内積で調べる問題 (2015年順天堂大/医) [C/B/D]

第2章 数A
[場合の数]
公式が使えない場合の数の難しい問題 (2016年順天堂大/医) [C/C/B]
[確率]
4枚のカードと4つの玉の確率の問題 (2016年慈恵医大) [B/A/A]
玉を取り出すゲームの問題 (2015年慈恵医大) [B/A/A]
格子点上の移動の確率の問題 (2017年東大文理共通) [C/B/A]
正三角形の辺上の移動確率の問題 (2016年東工大) [B/B/A]
正八角形の頂点上の移動確率の問題 (2019年東大文) [B/B/B]
3色のメダルの条件付き確率の問題 (2016年北大理系) [C/A/C]
確率数列と条件付き確率の問題 (2016年東大文理共通) [C/C/C]
[ユークリッドの互除法の問題]
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その1 (2017年横浜市大/医) [B/B/A]
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その2 (2016年慶應大/医) [B/B/A]
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その3 (2017年慶應大/医) [B/B/A]
[整数問題]
2次式・3次式の整数問題 (2015年東大文科) [B/C/B]
格子点上の非線型計画法の問題 (2019年慈恵医大) [C/B/B]
条件を満たす素数を求める問題 (2016年京大理系) [C/C/C]
整数階乗の割り算の問題 (2016年東工大) [C/C/B]
奇数の積が整数の2乗にならないことを示す問題 (2019年東大理科) [C/B/B]
組合せ記号に関する整数問題 (2018年東大文科) [C/B/B]
組合せ記号に関する整数問題 (2018年東大理科) [C/B/C]
組合せ記号を偶数にする整数の問題 (2015年東大理科) [D/C/C]
3のn乗の整数数列の問題 (2016年東大文科) [D/C/C]
有理数に関する証明問題 (2016年東大理科) [E/C/C]

第3章 数Ⅱ
[三角関数]
角度不明で解く三角関数の問題 (2015年慶應大/医) [B/B/A]
tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題 (2015年京大文理共通) [B/B/A]
tan加法定理を利用する図形問題 (2015年東大文科) [B/B/A]
三角関数多項式の最小値の問題 (2017年東大理科) [B/B/A]
三角関数と無理数の応用問題 (2019年横浜市大/医) [C/C/C]
[対数関数]
大きな数の桁数の上から2桁の数字の問題 (2019年京大文系) [C/A/B]
[図形と方程式]
2つの放物線の共通接線の問題 (2017年東大理科 ) [B/A/B]
放物線と放物線に中心がある円上の点の距離の問題 (2016年東工大) [B/A/B]
放物線の通過領域の問題 (2015年東大理科) [C/A/B]
線分の通過領域を求める問題 (2014年東大理科) [C/B/C]
[文系微積分]
2つの放物線が囲む領域の面積の問題 (2016年東大文科) [B/A/B]
3次関数の振る舞いに関する問題 (2018年東大文理共通) [B/B/B]
正方形の中の線分比の最大値・最小値の問題 (2019年東大文理共通) [B/B/B]
絶対値記号付き3次関数の最小値の問題 (2016年一橋大) [C/B/B]
4次関数の係数決定の問題 (2016年順天堂大/医) [C/B/C]
積分の最小化の問題 (2016年慶應大/理工) [C/B/C]
2つの放物線が囲む領域の面積の問題 (2015年東大文科) [C/B/C]

第4章 数B
[数列]
格子点の数の極限の問題…その1 (2015年慈恵医大) [C/B/B]
格子点の数の極限の問題…その2 (1998年東大理科) [C/B/C]
自然数と三角関数の和の数列の問題 (2015年一橋大) [C/A/C]
自然数の2乗と2のべき乗の積和の問題 (2015年横浜市大/医) [B/A/C]
自然数列の問題 (2017年東大文理共通) [C/C/C]
複雑な数列の最大値を求める問題 (2019年東工大) [C/C/B]
[漸化式]
特性値では解けない三項間漸化式の問題 (2016年一橋大) [B/A/A]
三項間分数漸化式の問題 (2017年昭和大/医) [B/A/A]
一般形の2項間分数漸化式の問題 (2008年東北大後期) [B/B/B]
nを含む逆数型漸化式を未定係数法で解く問題 (2019年横浜市大/医) [C/C/B]
多項式型の三項間漸化式の問題 (2016年横浜市大/医) [C/C/C]
三項間漸化式の問題 (2015年東大理科) [C/C/C]
[確率漸化式]
硬貨を投げる連立確率漸化式の問題 (2016年一橋大) [B/B/A]
文字を並べる確率漸化式の問題 (2015年東大文理共通) [C/C/C]
2つの確率漸化式で解く問題 (2016年慶應大/理工) [C/C/C]
3つの確率漸化式で解く問題 (2016年京大理系) [C/C/C]
[平面ベクトル]
直角三角形内の点の位置の問題 (2013年東大理科) [B/A/B]
ベクトルの大きさの比の値域の問題 (2016年一橋大) [C/C/B]
ベクトルの内積で定義した図形の問題 (2017年昭和大/医) [B/B/B]
ベクトルの内分点の通過領域の問題 (2017年東大文科) [B/B/B]
ベクトル間の角度の問題 (2008年東大文科) [C/B/C]
[平面ベクトルと軌跡・領域]
ベクトルで記述した軌跡の問題 (2019年一橋大) [B/B/B]
ベクトルで記述した領域の問題 (2019年東大文) [B/B/B]
ベクトルの軌跡・領域と面積の問題 (2018年東大文科) [B/B/B]
ベクトルの軌跡・領域と面積の問題 (2018年東大理科) [C/B/B]
[空間ベクトル]
四面体の高さと体積の問題 (2015年慈恵医大) [B/B/B]
正四面体の外部に直角三角形を構成する問題 (2016年慈恵医大) [C/B/B]
合同三角形が構成する四面体の問題 (2016年慶應大/理工) [C/B/C]
八面体の断面積の問題 (2019年東大理科) [C/B/C]
空間ベクトルを使って領域を示す問題 (2015年京大文科) [C/B/C]
正四面体の断面積の難問 (2016年慶應大/医) [D/B/E]
空間ベクトルと基本対称式の問題 (2015年慈恵医大) [D/B/C]

第5章 数Ⅲ
[複素数平面]
複素数列と確率の融合問題 (2019年阪大理系) [B/C/B]
複素数と図形と方程式の融合問題 (2018年東大理科) [C/B/B]
複素数の大きさの最大値を求める問題 (2016慈恵医大) [B/B/B]
複素数が鋭角三角形を構成する条件の問題 (2016年東大理科) [B/B/B]
複素数平面上の写像の問題 (2017年東大理科) [B/B/B]
複素数平面における円弧の問題 (2003年東大理科) [C/B/B]
複素数平面上の7乗根の問題 (2017年日本医科大) [C/B/C]
実数係数4次方程式の解に関する問題 (2019年東大理科) [C/B/C]
[2次曲線]
誘導付きの2次曲線の問題 (2013年東大文科) [B/B/B]
楕円上のx座標の最大値問題 (2012年東大文科) [B/B/A]
   [補足]2次曲線の分類
1次式の積の問題 (2017年昭和大/医) [B/B/A]
放物線の準線と焦点の問題 ((2012年順天堂大/医) [C/B/B]
楕円の焦点との距離の問題 (2017年日本医科大) [C/B/C]
双曲線の回転の問題 (2013年獨協医大) [C/B/B]
[極限]
指数関数の接点座標の数列の極限値の問題 (2015年京大理系) [B/B/B]
三角関数とべき乗の方程式の解の極限値の問題 (2019年東大理科) [C/C/C]
三角関数の極限値の問題 (2016年京大理系) [B/C/C]
閉区間を分割する極限値計算の問題 (2015年慶應大/理工) [C/B/C]
部分積分と極限値計算の難問 (2015年東大理科) [D/C/C]
[数Ⅲ微分]
三角関数・分数関数の挙動の問題 (2013年東大理科) [B/B/B]
三角関数・分数関数の挙動の問題 (2018年東大理科) [B/B/B]
三角関数の角度不明で最大値を求める問題 (2006年京大理系) [C/B/B]
正四面体内のベクトルのなす角度の問題 (2015年京大理系) [B/B/B]
空間内の三角形の投影面積の最小値の問題 (2016年東大理科) [B/C/C]
不等式の証明問題 (2016年東大理科) [C/B/C]
面積の極限と最大値の問題 (2016年慶應大/理工) [C/B/C]
内分点に中間値の定理を利用する問題 (2014年東大理科) [D/C/B]
[数Ⅲ積分]
分数関数の積の積分の問題 (2019年東大理1) [B/B/C]
絶対値記号付き指数関数積分の問題 (2016年慶應大/医13) [B/B/C]
指数関数を含む関数が囲む面積を求める問題 (2015年慈恵医大) [B/B/B]
放物線の交点と原点がなす三角形の面積を求める問題 (2014年東大理科) [C/B/C]
分数関数の微積分の融合問題 (2015年慶應大/医) [C/B/B]
確率漸化式と区分求積法の融合問題 (2015年慶應大/理工) [D/C/C]
[体積積分]
●断面積がわかっている問題
三角関数が囲む面積と回転体体積の問題 (2015年慶應大/理工) [C/C/C]
   [補足]体積積分の分類
指数・対数曲線が囲む領域の回転体積分の問題 (2015年東大理科) [B/B/C]
ガウス積分の回転体積分の不等式問題 (2015年東工大) [C/C/C]
●断面形状を求める必要がある問題
円錐を回転させた回転体の体積の問題 (2013年阪大理系) [B/B/A]
円錐を回転させた回転体の体積の問題 (2017年東大理科) [C/B/C]
線分通過領域の体積積分の問題 (2016年東大理科) [C/C/C]
●ねじれの位置にある線分を回転させる問題
円錐台の皮の体積の問題 (1984年東大理科) [B/B/B]
平行四辺形の回転体の体積を得る問題 (2014年慈恵医大) [C/B/B]
●公差立体の体積の問題
球の通過領域の共通部分の体積の問題 (2018年東大理科) [D/C/C]
[媒介変数表示曲線]
媒介変数表示曲線の速度ベクトルの問題 (2015年東工大) [B/B/B]
エピサイクロイドのグラフと面積の問題 (2016年東工大) [B/B/B]