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●東大・京大・一橋大の文系数学入試問題解説書(2015年-2019年)

はじめに
本書は、東大・京大・一橋大の3大学の文系入試で出題された、2013年から2019年の9年間の入試問題の中から良問を選び、2015年から2019年の直近5年分は全問を選択して、分野別に配置し、分野ごとには難易度順に配列した、文系入試対策としては最強の入試対策書籍です。
この場合、出題対象が理系受験生であろうと、問題の内容が数ⅠAⅡBの範囲である問題はすべて含めてあります。また頁数は300頁をめどとして選んでいます。あまり大部でも受験生の負担になると思いました。
さらに、今後出題されそうな入試問題、解いておいた方が得点に貢献するであろう問題を、理系入試・医大入試などからも選んで追加しました。つまり、「この1冊を学習すれば合格できる対策書」として編集したものです。
本書に収録した問題数は次のようになっています。
一橋大 30題
京大 39題
東大 35題
その他 45題
合計 149題
問題の解法には色々種類がありますが、主として、試験場で思いついて書くことができる、泥臭い解法を書きました。図版満載の上、計算過程もできるだけ端折らずに書いてあるので、かなり読みやすいでしょう。その上で複数の解法が考えられる場合には、すべての解法を書きました。本書における記述方針と、難易度・新奇度・計算量の評価の基準は次項に示しました。
また、穴埋め式の問題では、読むだけではどんな問題か把握しにくいので、本書ではこれを記述式の問題に書き直して、斜め読みでも問題が理解できるようにしてあります(これを本書では「改題」と呼びます)。
●3大学文系入試問題の難易度
東大の難易度が近年は大幅に低下しているので、東大特有の難問は今年は除外しましたもともとDEレベル(難問・超難問)への対策というものはあまり意味がなく、あるとすればCレベルの問題へ立ち向かう際に、どれだけ自分をトレーニングできるかということにつきます。したがって本書では、DEレベル問題は2015年~2019年に実際に出題された問題に限ってあります。
●3大学文系入試問題の出題傾向
これらの大学では、確率・確率漸化式の問題とベクトル・文系微積分の問題はすべてクリアした上で、整数問題の成否が合格を決めるというのが毎年の傾向です。
その中で特に京大の場合には、2010年に「立方体を斜めに回転した回転体の体積」の問題がありましたが、この主の問題は以降出題されていないので、今回は外しました。
本書に収録する問題を選ぶうえで困ったのは、「場合の数だけの問題」「ユークリッドの互除法の問題」「4次関数の微積分」の問題の出題が少ないということです「場合の数だけの問題」は、多くは確率の問題として出題されてしまうのですが、「ユークリッドの互除法の問題」と「4次関数の微積分」は避けて通れません。これらの分野の問題は、理系入試・医大入試の問題から補充しました。
「ユークリッドの互除法の問題」の問題は、これから出題されると考えられます。「4次関数の微積分」もこれからでしょう。学習指導要領の改訂によって、文系微積分では、何のためらいもなく4次関数が出題できることになっています。
本書が東大・京大・一橋大などの文系難関大合格の一助となれば幸甚です。
2019年4月
著者

第1章 数Ⅰ
[数と式]
多項式を決定する問題 (2017年一橋大) [B/A/A]
複次式の不等式の成立条件の問題 (2013年京大文系) [C/C/B]
絶対値記号付きの2次関数の問題 (2019年京大文系2) [B/A/B]
[図形と計量]
余弦定理の問題
余弦定理を使って解く鋭角三角形の問題 (2016年東大文科) [B/A/B]
余弦定理と2次方程式を使って解く問題 (2006年東大文科) [B/B/C]
空間図形の計量
表面積最小の直円錐の問題 (2014年一橋大) [C/B/C]
体積一定で表面積最小の直円柱の問題 (2001年東京女子医大) [C/B/C]
直交する円周間距離の最小値・最大値の問題 (2015年一橋大) [C/C/C]
[論証の問題 ]
2次関数と組み合わせた命題と論証の問題 (2019年京大文系3) [B/B/A]
2次関数と不等式領域の問題 (2018年東大文科1) [B/A/B]

第2章 数A
[場合の数の問題]
9人を4つの部屋に割り当てる場合の数の問題 (2016年慶応/医11) [A/A/B]
同じものを含む順列の問題 (2010年関西学院大) [B/A/A]
碁盤上の碁石の配置の問題 (2016年慶応/総合政策) [C/B/B]
立方体の各面の色塗りの問題 (2016年順天堂大/医) [C/C/B]
[確率の問題]
ゲームの確率
さいころをn回投げた目の差の確率の問題 (2017年京大文系) [B/A/A]
さいころの確率の数列の総和の問題 (2019年京大文理共通) [C/B/B]
コインゲームの勝率の問題 (2013年東大文科) [D/C/C]
くじをひく回数の問題 (2016年京大文系) [B/A/A]
数直線・格子点上の移動の確率
格子の上を移動する確率の問題 (2015年京大文系) [B/B/A]
数直線上の対称移動確率の問題 (2013年京大文系) [C/B/B]
格子点上の移動の確率の問題 (2017年東大文科) [C/B/A]
数学的な確率
正三角形の辺上の移動の確率の問題 (2016年東工大) [B/B/A]
正八角形の頂点上の移動確率の問題 (2019年東大文3) [B/B/B]
多角形上の平行直線の確率の問題 (2015年一橋大) [B/C/B]
割り切れる確率の問題 (2013年一橋大) [C/C/C]
条件付き確率
3色のメダルの条件付き確率の問題 (2016年北大理系) [C/A/C]
確率数列と条件付き確率の問題 (2016年東大文科) [C/C/C]
[整数問題]
ユークリッドの互除法の問題
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その1 (2017年横浜市大/医) [B/B/A]
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その2 (2016年慶應大/医) [B/B/A]
ユークリッドの互除法を使って解く問題…その3 (2017年慶應大/医) [B/B/A]
ユークリッドの互除法と図形と方程式の融合問題 (新作問題) [B/C/B]
ユークリッドの互除法か不等式を使う整数問題 (2016年一橋大) [B/B/A]
ユークリッドの互除法を利用する基本問題 (2016年神戸大理系) [B/B/B]
整数計算問題
積=和の不定方程式を解く問題 (複数年東京女子大) [B/B/B]
因数分解と素因数分解で解く問題 (2013年一橋大) [B/C/B]
奇数の積が整数の2乗にならないことを示す問題 (2019年東大理科4) [C/B/B]
2次対称型の不定方程式を解く問題 (2017年一橋大) [B/A/B]
自然数数列が非平方数を含むことを示す問題 (2019年一橋大1) [B/B/B]
2次式・3次式の整数問題 (2015年東大文科) [B/C/B]
分数和の不定方程式を解く問題 (2014年名大文系) [B/B/B]
各桁の数を未知数と置いて解く問題
各桁の数を未知数と置いて解く問題 (2007年東京女子大) [B/B/B]
各桁の数を未知数と置いて解く問題 (2018年一橋大1) [C/B/B]
記数法の問題
記数法の問題 (新作問題) [B/B/B]
10進数の1の位の問題 (2002年関西大) [B/B/B]
複数の記数法の問題 (1968年神戸大) [B/B/B]
何進法かを問う問題 (2016年京大文系) [C/C/B]
桁数を問う問題 (2014年一橋大後期) [C/C/B]
その他の整数問題
倍数の数の問題 (2017年京大文系) [B/B/B]
三角関数の整数問題 (2017年京大文系) [C/C/C]
組合せ記号に関する問題
組合せ記号に関する整数問題 (2018年東大文科) [C/B/B]
組合せ記号に関する整数問題 (2018年東大理科) [C/B/C]
組合せ記号を偶数にする整数の問題 (2015年東大理科) [D/C/C]
素数に関する問題
条件を満たす素数を求める問題 (2016年京大理系) [C/C/C]
2以外の素数は奇数と3の剰余類を利用する問題 (2014年一橋大) [D/C/C]
整数nとの最大公約数が1の整数の個数の問題 (2015年一橋大) [D/C/C]
3のn乗の整数数列の問題 (2016年東大文科) [D/C/C]
素数を表す式の問題 (2018年京大文理共通) [C/B/A]
数式の割り算の問題
「隣り合う整数は互いに素」で証明する割り算の問題 (2013年京大文系) [B/C/B]
数列を使って証明する割り算の問題 (2013年京大理系) [C/C/C]
数式の割り算の問題 (2019年京大文系) [B/C/A]
3次式が2次式で割り切れる難問 (2015年京大文系) [E/C/C]

第3章 数Ⅱ
[高次方程式]
3次方程式を決定する問題 (2016年京大文系) [C/B/B]
4次方程式の複素数解の問題 (2017年東工大) [C/B/B]
[三角関数]
三角関数と無理数の応用問題 (2019年横浜市大/医) [C/C/C]
角度不明で解く三角関数の問題 (2015年慶應大/医) [B/B/B]
tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題 (2015年京大文系) [B/C/B]
三角関数多項式の最小値の問題 (2017年東大理科) [B/C/B]
tan加法定理を利用する図形問題 (2015年東大文科) [B/B/B]
[対数関数]
対数式の最大最小の問題 (2017年一橋大) [B/A/B]
対数不等式の問題 (2005年京大理系) [B/B/B]
対数の桁数の最高位の数字の問題 (2018年横浜市大/医) [B/B/B]
大きな数の桁数の上から2桁の数字の問題 (2019年京大文系) [C/A/B]
対数の桁数の最高位の数字の問題 (2018年横浜市大/医) [B/B/B]
[図形と方程式]
放物線に関する問題
2つの放物線の共通接線の問題 (2017年東大理科 ) [B/A/B]
放物線と放物線に中心がある円上の点の距離の問題 (2016年東工大) B/A/C]
放物線・双曲線に関わる定長問題 (2013年東大文科) [B/B/C]
三角形・四角形に関する問題軌跡と領域の問題
三角形の面積を最大化する問題 (2015年一橋大) [C/B/C]
軌跡と領域の問題
放物線上の二等辺三角形の重心の軌跡の問題 (2011年東大文科) [C/B/C]
平行四辺形の面積を最大化する問題 (2017年一橋大) [C/A/B]
2つの円に接する円の中心の軌跡と三角形の面積の問題 (2019年一橋大) [C/A/B]
直線・曲線の通過領域の問題
放物線の通過領域の問題 (2015年東大理科) [C/A/B]
線分の通過領域を求める問題 (2014年東大文科) [C/B/C]
線型・非線形計画法の問題
三角関数と線型計画法をくみあわせた問題 (2019年阪大文系) [B/C/B]
格子点上の非線型計画法の問題 (2019年慈恵医大) [C/B/B]
[文系微積分]
2次関数の微積分
2つの放物線が囲む領域の面積比の問題 (2017年東大文科) [B/A/B]
放物線と1次関数が囲む面積の問題 (2015年京大文系) [B/A/A]
2次関数と接線・x軸・直線が囲む面積の問題 (2014年一橋大) [B/A/A]
2つの放物線が囲む領域の面積の問題 (2016年東大文科) [B/A/B]
絶対値記号付き2次関数と2次関数が囲む領域の面積の問題 (2018年京大文系) [B/A/B]
円と放物線が囲む面積の問題 (2013年京大文系) [C/B/B]
放物線の接線と半円が囲む領域の面積の問題 (2018年一橋大2) [C/C/B]
2つの放物線が囲む領域の面積の問題 (2015年東大文科) [C/B/C]
3次関数の微積分
3次関数の最大値の問題 (2017年阪大文系) [B/A/B]
2次関数と3次関数が囲む面積の問題 (2018年一橋大) [B/B/B]
3次関数の振る舞いに関する問題 (2018年東大文理共通) [B/B/B]
3次関数と接線が囲む面積の問題 (2019年一橋大3) [B/B/B]
球面内接四角錐の体積の最大値を求める問題 (2019年京大文理共通) [B/B/B]
3次関数を利用する線分の長さの問題 (2018年京大文系2) [B/A/B]
正方形の中の線分比の最大値・最小値の問題 (2019年東大文理共通) [B/B/B]
3次関数と接線が囲む面積の問題 (2017年京大文系) [B/B/B]
3次関数と円が囲む面積の問題 (2016年京大文系) [B/B/C]
3次関数と直線が囲む面積の最小値の問題 (2012年東工大) [B/B/C]
絶対値記号付き3次関数の最小値の問題 (2016年一橋大) [C/B/B]
3次の対称式の値域を調べる問題 (2012年京大文系) [C/C/C]
4次関数の微積分
4次関数と2次関数が囲む領域の面積の問題 (2012年京大文系) [A/A/A]
4次関数の最大値・最小値の問題 (2012年慶應大/環境情報) [B/B/A]
3次・4次関数の対称性の問題 (2004年名古屋大/理学部後期) [C/A/C]
4次関数の係数決定の問題 (2016年順天堂大/医) [C/B/C]

第4章 数B
[数列問題]
自然数と三角関数の数列の問題 (2015年一橋大) [C/A/C]
自然数の2乗と2のべき乗の積和の問題 (2015年横浜市大/医) [B/A/C]
自然数列の問題 (2017年東大文科) [C/C/C]
小数部分の数列の問題 (2011年東大文科) [D/C/C]
[漸化式]
漸化式と桁数の問題 (2014年京大文系) [B/A/B]
誘導のない3項間漸化式の問題 (2012年慶應大/医) [B/A/B]
特性値では解けない3項間漸化式の問題 (2016年一橋大) [B/A/B]
3項間分数漸化式の問題 (2017年昭和大/医) [B/A/B]
一般形の2項間分数漸化式の問題 (2008年東北大後期) [B/B/B]
nを含む逆数型漸化式を未定係数法で解く問題 (2019年横浜市大/医) [C/C/B]
多項式型の3項間漸化式の問題 (2016年横浜市大/医) [C/C/C]
3項間漸化式の問題 (2015年東大理科) [C/C/C]
[確率漸化式]
ゲーム確率
硬貨を投げる連立確率漸化式の問題 (2016年一橋大) [B/B/A]
文字を並べる確率漸化式の問題 (2015年東大文科) [C/C/C]
2つの確率漸化式で解く問題 (2016年慶應大/理工) [C/C/C]
格子点上を移動する確率
確率漸化式を作って解く数直線上の移動の問題 (2014年一橋大) [C/B/B]
3つの確率漸化式で解く格子点上の移動の問題 (2016年京大理系) [C/C/C]
その他の確率漸化式
連立確率漸化式を作って解く問題 (2015年京大理系) [C/B/C]
[平面ベクトル]
ベクトル方程式を複数回利用する問題 (2013年、京大文系) [B/A/A]
ベクトルの内積で定義した図形の問題 (2017年昭和大/医) [B/B/B]
ベクトルの内分点の通過領域の問題 (2017年東大文科) [B/B/B]
直角三角形内の点の位置の問題 (2013年東大理科) [B/A/B]
ベクトルの大きさの比の値域の問題 (2016年一橋大) [C/C/B]
ベクトル間の角度の問題 (2008年東大文科) [C/B/C]
[平面ベクトルと軌跡・領域]
ベクトルで記述した軌跡の問題 (2019年一橋大) [B/B/B]
ベクトルで記述した領域の問題 (2019年東大文科) [B/B/B]
ベクトルの軌跡・領域と面積の問題 (2018年東大文科) [B/B/B]
ベクトル和の終点の不変性を示す問題 (2019年東大文科) [B/B/A]
[空間ベクトル]
四面体の問題
正四面体内のベクトルの内積の問題 (2012年東工大) [B/A/B]
四面体の高さと体積の問題 (2015年慈恵医大) [B/B/B]
正四面体のベクトル問題 (2016年慈恵医大) [C/B/B]
合同三角形で構成される四面体の問題 (2016年慶應大/理工) [C/B/C]
正四面体の証明問題 (2016年京大文系) [D/A/C]
四面体の体積二等分平面の問題 (2018年京大文理共通) [D/A/C]
四面体以外の問題
ねじれの位置にある2直線上の正三角形の問題 (2017年京大文系) [C/B/C]
ねじれの位置にある空間ベクトルの垂線の問題 (2017年一橋大) [C/B/C]
直線方程式とベクトルの内積の問題 (2014年京大文系) [C/B/C]
空間ベクトルを使って領域を示す問題 (2015年京大文科) [C/B/C]
ベクトルの内積で定義した球の問題 (2013年一橋大) [C/C/C]
空間ベクトルと基本対称式の問題 (2015年慈恵医大) [D/B/C]
斜めにおいた立方体の問題 (2015年慶應大/理工) [C/B/C]