■三角関数

三角関数の基本公式はたった３つ！
実は三角関数の基本になる公式は「たった３つ」しかありません。

• 正弦定理・余弦定理
• ピタゴラスの定理（三角関数の基本定理）
• 三角関数の加法定理⇒積和・和積公式

三角関数では、全部暗記するのではなく、「困ったらその場でつくれる（確認できる）」ことが必要です。暗記しても少し間違ったら大怪我します。暗記に埋没しては、数学のおもしろさはわかりません。おもしろくなくては入試にも受かりません。

三角関数の公式は次のような関係にあります。正弦定理は外接円が必要なので他の公式とは無関係です。ピタゴラスの定理は三角関数の定義と密接な関係にあります。そしてその他のすべての公式は加法定理から導かれます。


■三角関数の公式がわかれば解ける問題は非常に多い！
●基本問題
[A]三角関数の対称式の問題（2017年日大／医22）

[B]関数式で定義された関数の周期を求める問題（2018年早大／商14）

[B]三角関数の問題（2013年慶応大／医11）

[B]三角関数の加法定理の応用問題（2017年慶應理工11）

[B]３/２倍角の余弦を求める問題（2013年東京医科大12）

[B]三角関数の積の問題（2015年早大／商12）

[C]三角関数と無理数の応用問題（2019年横浜市大／医13）

[D]空間における角度と頂点に関する難問（2000年京大文3理3）
積和公式必須の問題です。


●三角関数を使う平面図形問題
[B]4つの合同三角形の頂角の正弦を求める問題(2009年京大文系4)

[B]半円内で2回反射する問題（2000年東工大1）

[C]円内の三角形の面積を最大化する問題（2015年阪大文系3）

[C]三角形の内接円の半径の問題（2006年京大理系後期4）

[C]三角形の面積を半端な変数値で最大化する問題（2013年一橋大2）

[C]円内接等脚台形に関する三角関数問題（2018年京大理系3）

[C]正方形の紙を折り曲げて線対称な五角形をつくる問題（2001年東工大4）


●主として数Ⅲを使う図形問題
[C]三角形の辺長の２乗和を調べる問題（2002年京大理系2）

[C]三角形の３角の正弦の積の最大値を求める問題（1999年京大理系後期2）


●tanを使う問題（積和公式・加法定理）
sinやcosを使う問題はネタ切れで、最近はtanの問題が増えています。
[A]tanθ/2を利用する問題（2013年昭和大／医112）

[B]tanの性質を証明する問題（2014年埼玉大／教育22他）

[B]tan10°= tan20°tan30°tan40°の証明の問題（2013年千葉大10）

[B]tanと相加平均≧相乗平均を利用する問題（2015年京大文2理2）

[B]図形と三角関数の問題（2019年筑波大／医1）

[C]tanの加法定理とシュワルツの不等式を使う問題（2013年東京医科歯科大1）


●tanを使う図形問題（積和公式・加法定理）
[B]２次関数と三角形と整数問題の融合問題（2004年一橋大2）

[B]tan加法定理を利用する問題（2010年京大理系2）

[B]tan加法定理を利用する問題（2015年東大文科3）

[C]tan加法定理を利用する問題（2017年日大／医3）

[C]x軸上の2点を見込む角を使った面積の問題（2024年東大文3）


●三角関数を使った空間図形の問題
[C]円に内接する正三角柱の最大体積の問題（2014年大阪市大／経済3）

[C]四角柱を斜めに切る平面の面積の問題（2014年東大理科1）

[C]直方体の中の四面体の問題（2014年東京医科歯科大2）

[C]大円経路の計算問題（2008年京大理系6）

[C]球面内の面積と体積の問題（2023年東大文4）