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■方程式問題の解き方

方程式だけの問題の多くは小問の1つとして出題され、その多くは解と係数の関係、二項係数や高次の方程式と因数定理などを複雑に組み合わせた問題が多いと言えます。重要事項を再確認してください。
●2次方程式の解の範囲と係数の関係
2次方程式の解の範囲と係数の関係の問題を素早く解くコツを次の4つに分類しました。これらを素早く判別することがスピードアップのコツです。

  • (1) 異なる2つの実数解 ⇒ 判別式が正
  • (2) 負の実数解 ⇒ 判別式が非負かつ解の係数適用
  • (3) 指定範囲に異なる2つの実数解 ⇒ 判別式が正、両端で正かつ軸が範囲内
  • (4) 係数の関係の問題
  • (5) 判別式で解く問題

(1) 異なる2つの実数解 ⇒ 判別式が正
[A] 2次方程式が実数解を持つ条件の問題(2016年日大/医12)
珍しいほどやさしい問題です。

(2) 負の実数解 ⇒ 判別式が非負かつ解の係数適用
[A]2次方程式の負解の問題(2014年日大/医11)

[A] 2次方程式が指定範囲に異なる2つの実数解を持つ問題(2015年日大/医13)

[C]2次方程式の解の範囲の問題(2017年理科大/理/応用数学11)

(4) 係数の関係の問題
[B]2次方程式の解と係数の関係(2013年芝浦工大12)

(5) 判別式で解く問題
[C]楕円上のx座標の最大値問題(2012年東大文科1)

この問題は2次曲線をわかっていないと、解き初めに躊躇するでしょう。最大値を求めるということは、この2次曲線は楕円か放物線しかあり得ません。しかしその判別法は判別式だけで十分なのです。

●その他の方程式問題
[B]方程式を満たす実数の問題(2018年横浜市大/医12)

[B]2次方程式の共通解の問題(2008年京大文3理4)

[B]複素数に関する連立方程式の問題(2019年慶応大/理工12)

[B]2つの不動点を持つ2次関数の問題(2019年早大/商12)

[C]実数解を持たない複数の2次方程式の解の配置の問題 (2018年東工大1)

[C]両軸と単位円上に頂点を持つ正三角形の面積の問題(2015年一橋大2)