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■平面幾何

 図形問題は、中学までの初等幾何と数Ⅰの「平面幾何」「図形と計量」「空間図形」の知識をベースに、数Ⅱの「図形と方程式」または数Bの「ベクトル」のいずれかを使って解きます。「図形と方程式」には数多くの公式が用意されていますが、「ベクトル」の方が柔軟性に勝ります。たまには平面幾何だけで解く問題も出題されます。
 中学までの幾何では平行線や円周角などから生ずるさまざまな性質や「三平方の定理」に加えて「平面幾何」では、「メネラウスの定理」「チェバの定理」「方べきの定理」などを新しく学び、「図形と計量」では三角比/三角関数を図形に応用することや球の周辺の計算などを学び、「空間図形」では正多面体の性質などを学びます。

●初等幾何の問題
[A]幾何の基礎の問題(京大2012年文4理5)

[B]三角形の中線の交点の内分比の証明(2010年佐賀大/教育3)

[B]初等幾何の問題(2015年横浜市大/医2)

[B]等角証明の問題(2008年京大文系2)

[C]初等幾何の問題(2009年京大理系2)

[C]長方形を折り曲げてあふれた面積の問題(2017年東工大3)

[C]平面上の辺の長さの不等式の問題(2016年順天堂大/医3)

[C]正八角形の周上に頂点を持つ三角形の面積の問題(2007年東工大3)


●円の性質の問題
[B]平面図形に関するやさしい問題(2016年慶応大/総合政策5)

[B]接する円の問題(2017年慶應大/環境情報1)

[B]接する円の問題(2017年慶應大/総合政策2)

[B]円に外接する三角形の面積の問題(2017年慈恵医大2)

[B]正六角形に含まれる最大の正方形・長方形の問題(2004年一橋大1)


●メネラウスの定理とチェバの定理
これら2つの定理は、数Aで学ぶ幾何定理です。数Bのベクトル方程式の問題ではメネラウスの定理も利用できます。しかし次の問題は、見事にこの定理を利用すれば簡単ですが、利用しないと難問になる、という問題です。メネラウスの定理とチェバの定理の証明を示しておきます。多くの問題ではベクトルを使っても解けますが、これらのような問題がある以上、メネラウスの定理はちゃんと使えねばならないということです。
[B]メネラウスの定理専用の問題(2006年和歌山大)

[B]メネラウスの定理専用の問題(2017年日本医科大4)

[C]メネラウスの定理専用の問題(2009年横浜市大/医3)


●方べきの定理
方べきの定理とは円に対する2本の弦または接線に関する長さの積の定理であって、図形に関する計算問題に利用されます。
[入試問題]
[A]方べきの定理を利用する問題(2017年東海大/医116)


[C]円に内接する四角形の頂点のベクトル表現の問題(2000年京大文1理1)

もう少し問題があったはずで、後日追加します。

この定理を利用すると、2つの長さの積や商の長さを作図することができます。作図問題が入試に出題された例は見たことがありませんので、例題として示しておきます。
[例題]方べきの定理を利用した作図


●鏡像・円対称の問題
直線および円に対する対称の幾何学の問題を集めました。特に難しい問題ではなく、図形が得意な向きには簡単な問題なのですが、高校数学のどの分野に属するのか判別しがたく、鏡像の問題は光学のフェルマーの原理の問題、円対称はベクトル問題とも考えられます。
[B]鏡像の問題(2013年日大/医13)

[B]鏡像の問題(2011年一橋大2)

[C]平面上の鏡像の問題(2016年慶応大/環境情報4)

[B]円対称の問題(2010年横浜市大/医2)

[C]ベクトルで解く反転の問題(2007年阪大文3理3)