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■図形と計量

図形と計量に含まれる問題は次の3つに大分されます。

  • 正弦定理・余弦定理に関する問題
  • 円と球に関する問題
  • 四面体などの空間図形に関する問題


正弦定理・余弦定理は、図を思い出せれば証明を書き出すことは容易です。

「どの定理・公式を使えば解けるのか」気が付くのが難しいと言えば難しいのですが、それでも定理・公式を知らなければ解けません。そして、定理・公式になじんでいれば解ける問題を列挙します。正弦定理と余弦定理のどちらが便利かという場合には、次の2点を考えます。

  • 正弦定理は1次の関係、余弦定理は2次の関係であり、前者だけで済むならそれに越したことはない。
  • 正弦定理では3つの角が利用できるが、余弦定理で1つの角しか利用できない。


●正弦定理を使う問題
[B]正弦定理を使って外接円の半径を求める問題(2013年日大/医14)

[B]正弦定理を使って辺の長さを求める問題(2014年慶應大/理工12)

[B]三角形の1辺の長さを他辺の長さで表す問題(2010年京大理系4)

[B]鋭角三角形の問題(2016年東大文科1)

[C]三角形の内接円の半径の問題(2017年京大理系4)

[C]正弦定理を使って解く問題(2014年京大理系3)


●余弦定理を使う問題
○まず最初にやさしい問題群です。
[A]余弦定理を使って解く問題(2011年京大文系11)

[B]三角形の線分比の計算問題(2019年慈恵医大12)

[B]余弦定理を使って解く問題(2012年広島大文系3)

[B]円に内接する四角形の問題(2017年日大/医13)


○少し難しい問題です。
[B]三角形の頂角を二等分する問題(2019年千葉大/医8)

[B]角の2等分線と円の交点の位置ベクトルを求める問題2004年京大文3

[B]2つの三角形に余弦定理を適用して解く問題(2000年一橋大2)

[C]三角錐の高さと稜の角度の問題(2000年一橋大3)

[C]余弦定理を使って解く問題(2006年東大文系1)

[C]余弦定理を使って解く問題(2014年自治医大10)
2006年に東大文系で出題された問題の類題です。


○最後は応用問題です。
[B]cos2π/5に関する正五角錘問題(2013年順天堂大/医15)

[B]余弦定理を使って解く四角形の問題(2015年慶應大/総合政策11)

[B]正弦定理・余弦定理を組み合わせる問題(2014年自治医大12)

[C]四角形の内部の三角形の内接円の半径の問題(2016年日本医科大11)

[C]円に内接する四角形の問題(2011年慶大/医3)

[D]三角形の角の余弦値を求める難問(2019年東京医歯大2)

[D]三角形の繰り返しの図形の問題(2016年早大/商3)


●円と球と四面体に関する問題
[B]等稜四面体の体積の問題(2015年慈恵医大12)
空間ベクトル問題としての解法以外の解法も示します。

[B]正四面体の各辺に接する球の最大体積の問題(2015年慶應大/総合政策12)

[C]四面体に外接する球の半径の問題(2001年東大文1理1)