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■複素数平面問題

複素数平面が有利なのは次の2点です。

  • xy座標を1つの複素数であつかえる(複素数の実部・虚部はxy座標に一致する)
  • 回転操作が容易(前指導要領では行列の担当範囲)

複素数平面上の問題は大きく次の7つの分野に分類できます。

  • 初級 (1) 複素数平面上の基礎問題
  •    (2) 複素数平面上の図形の問題(直線・円・三角形)
  •    (3) 複素数平面上の方程式の問題
  •    (4) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
  • 中級 (5) 複素数平面上の回転の問題
  •    (6) 複素数平面上の数列の問題
  • 上級 (7) 高次方程式の問題

これらを初級・中級・上級の3頁に分けて解説します。

(1) 複素数平面上の基礎問題
[B]複素数の絶対値を求める問題(2002年一橋大2)

[B]複素数の関数の絶対値の最大値・最小値の問題(2001年一橋大1)

[B]複素数平面上の集合の問題(2017年慶應理工12)

[B]直線と放物線の交点と複素数解の問題(2000年京大理2)

[C]複素数平面上の解領域の問題(2017年東京理科大/理/応用数学2)

[C]複素数平面上の距離の問題(2016年慈恵医大12)

[C]複素数平面上zの関数|w|の最大値の問題(2005年東大理2)

[C]共役複素数の和の不等式を満たす最小自然数の問題(2019年京大理6)

[D]複素数の素数乗が実数ではないことの証明問題(2000年京大理4)


(2)複素数平面上の図形の問題
複素数は、極形式でもわかるように、大きさと偏角がその二大要素です。大きさの扱いは容易でしょうが、偏角の扱いには慣れが必要です。


●直線の問題
[A]複素平面上の直線の問題(2014年阪大文1)

[B]複素数平面上の直線の問題(2004年京都教育大)


●円の問題
[B]複素数平面上の円上の点の問題(2004年京大理5)

[B]複素数平面における円上の点の偏角の問題(2019年筑波大/医6)

[C]2つの複素数が円上にあることを示す問題(2000年東大文4理2)


●三角形の問題
[B]複素数平面上の鋭角三角形の問題(2016年東大理4)

[B]複素平面上の三角形の問題(2005年京大文3)

[B]複素平面上で方程式の解と係数が三角形を構成する問題2004年京大文4

[C]複素数平面上の三角形の面積の最大値を求める問題(2018年日本医科大4)

[C]複素数平面の正三角形の構成条件の問題(2005年京大理系3)

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題(2017年慈恵医大4)

[C]複素数平面上の正三角形の頂点座標の問題(2016年兵庫県立大/理5)

[C]3つの複素数で正三角形を構成する問題(2017年順天堂大/医13)

[C]複素平面上の直線と正三角形の問題(2004年一橋大3)


(3) 複素数平面上の方程式の問題
[B]3次方程式の解の複素数平面上での幾何の問題(2018年早大/理工1)

[B]3次方程式と直角三角形の問題(2018年東京理科大/理工/情報12)

[C]複素数と図形と方程式の融合問題(2018年東大理科5)

[C]複素数平面上の三角形の形状と3次方程式の解の問題(2004年横浜国大/工3)

[C]4次の実数係数方程式の複素数解の問題(2017年東工大5)

[C]実数解を持たない複数の2次方程式の解の配置の問題 (2018年東工大1)

[D]4次の実数係数方程式の複素数解の問題(2019年東大理科6)


(4) 複素数平面上の軌跡と領域の問題
[B]複素数平面上の円の通過領域の問題(2004年京大後期文4理2)

[B]複素数平面上の写像の問題(2017年東大理科3)

[B]複素数平面上の軌跡の問題(2017年京大理系1)

[C]複素数平面上の写像の問題(2017年早大/理工1)

[C]複素数平面の写像の円の中心と半径を求める問題(2017年千葉大/医9)

[C]複素数平面上の円弧の問題(2003年東大理科2)

[C]複素数平面上の写像と領域の面積の問題(2019年慈恵医大4)

[C]複素数の存在領域の図示の問題(2003年一橋大2)