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■極限値問題の計算問題

●関数や数列の極限の基本
関数の極限は実数で連続的に極限値に収束し、数列の極限は自然数で離散的に極限値に収束します(収束する場合の話)。どちらの場合も考え方は高校レベルではほぼ似たようなものなのであり、ネピアの数のベルヌーイによる定義では下に示すように自然数によって定義されていますが、これは当然実数でも成立し、これを使った問題もよく出題されます。
関数の極限に利用される重要な関係を3つ示します。

  • 分母か分子に「差」があると微分に持ち込む
  • 三角関数がある場合はsinに変形してsinθ/θの極限を利用する
  • 累乗がある場合は(1+1/x)^xの形に変形してネピアの数の定義に持ち込む


さらに面倒なのが、「べき乗」や「階乗」が登場する場合です。これらは次項の数列や級数の極限で取り扱います。
[例題]
入試問題から集めた例題で、主な極限計算をカバーしました。

よく使われる極限計算は常に証明できるようにしておきます。


[B]三角形の1つの角の余弦の極限値の問題(2016年東京医科大11)


[入試問題]
●無理式の極限
[B]無理関数の極限値の問題(2017年東海大/医211)

[B]ベクトルで書かれた無理式の分数の差の極限問題(2017年東京医科大21)


べき乗の極限
[B]べき乗の極限値の問題(2012年慶応大/医14)

[C]べき乗の極限値の融合問題(2016年東京理科大/理工/情報3)

[D]対数をとればわかる極限の問題(2012年京大理系11)


●指数・対数極限
[B]指数関数の接点座標と切片座標の差の極限値の問題(2015年京大理系3)

[B]やさしい微分不等式と極限の証明問題(2019年慶応大/理工11)


●三角関数極限
この分野は問題ごとに特徴が異なるので、できるだけたくさん紹介します。
[B]積分と極限値の問題(2018年千葉大/医10)

[C]解法の多い極限値の問題(早稲田大有名問題)

[C]複雑な積分の極限の問題(2017年日本医科大3)

[C]三角関数の極限値の問題(2016年京大/理系1)

[C]三角関数の積分の極限値の問題(2017年慶應大/理工3)

[D]三角関数の極限値の問題(2009年大阪府立大/工5)

絶対値記号付きの関数の積分の極限は極限値問題の解法1に収録してあります。

●微分係数型極限
[B]積分と極限値の問題(2018年千葉大/医10)


●極限の図形問題
[B]高校入試問題の極限値の問題(2016年順天堂大/医)

[B]三角関数の極限の応用問題(2013年日大/医3)

[B]正多角形の周の長さの極限と不等式の問題(2019年早稲田大/理工2)

[B]三角関数の極限値の問題(2011年愛知教育大6)

[C]三角関数の極限値の応用問題(2014年北里大)

[C]三角関数の複雑な極限の問題(2007年東大理科)

[D]三角関数の極限値の難問(2014年慶応大/医4)

[D]三角関数の極限値の難問(2012年日本医科大2)