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■3次関数の微積分

主として文系数学に出題される3次関数の問題は、

  • 3次関数・4次関数の導関数としての3次関数の極大値・極小値
  • 3次方程式解と係数の関係
  • 3次式の因数分解
  • 3次関数の積分計算

などをフルに活用する、一種特殊な分野を構成しています。基本は次の事項です。

これらに対して微分で極値を求め、積分で面積を計算します。微積分の概要は次の通りです。つまり、「ネタ」はこれらしかありません。そして多くは「Bレベル」の問題です。

[例題]
まずは極めて基本的な例題です。


[入試問題]
●3次関数と直線の交点の問題
[B]3次関数と直線の交点の問題(2012年日本医科大13)

[B]3次関数が水平線と3つの交点を持つ問題(2002年京大理系5)

[B]3次関数と直線y=x+aの交点の個数の問題(2011年京大文系3)


●3次関数の値域の問題
[A]関数とその最大値を図示する問題(2001年東大文科2)

[B]3次関数を非負にする条件の問題(2006年阪大文系1)

[B]3次関数の極値の問題(2017年東京理科大/理工/情報12)

[B]3次関数の最大値・最小値の問題(2014年東大文科1)

[B]3次関数の区間を指定した最大値の問題(2007年一橋大4)

[B]3次関数の極値に関する問題(2014年早大/商2)

[C]3次関数の最大値の問題(2017年慶應大/環境情報5


●3次関数の微分問題
[A]3次式の係数を決める文系微分問題(2014年阪大文系3)

[B]3次方程式の解と係数の関係に関するやさしい問題(2008年阪大文系2)

[B]3次方程式の正の実数解の問題(2019年筑波大推薦/医2)

[B]2つの3次曲線の共通接線と線分長比の問題(2000年一橋大4)

[B]3次関数の2つの接線が直交する条件の問題(2009年阪大文系1)

[B]3次関数の振る舞いに関する問題(2018年東大文3理34)

[B]2次関数と3次関数の解の大きさの比較の問題(2003年一橋大4)

[B]3次関数の接線と原点交点を結ぶ直線のなす角度の問題(2006年一橋大4)

[B]3次関数と1次関数の交点の距離の積の問題(2013年東大文科1)

[B]3次関数と接点の中点の問題(2010年一橋大2)

[B]3次関数を利用する線分の長さの問題(2018年京大文系2)

[B]3次関数の接線を45°回転した直線との交点の問題(2001年京大理1)

[B]放物線と3次曲線の共通接線が3本引ける領域の問題(2004年一橋大4)

[C]3次関数と法線の問題(2017年慶應大/理工5)


●3次関数の微分の図形問題
[B]正方形の中の三角形に関する文系微分の問題(2019年東大文1理2)

[B]直円錐台の体積の和の最大値を求めるやさしい問題(2000年東大文1理1)

[C]球面内接四角錐の体積の最大値を求める問題(2019年京大文5理5)

[C]球に外接する円錐の表面積と体積の最小値の問題(2002年一橋大4)

[C]3次関数と二等辺三角形の問題(2015年慶應大/環境情報3)


[参考問題]
[C]3次関数が水平線と3つの交点を持つ問題(2016年順天堂大/医13)


●3次関数の積分問題
[B]3次関数と円が囲む面積の問題(2016年京大文系1)

[B]3次関数と接線が囲む面積の問題(2014年京大文系2)

[B]3次関数と接線が囲む面積の問題(2017年京大文系1)

[B]2次関数と3次関数が囲む面積の問題(2018年一橋大5)

[B]3次関数と原点通過直線が囲む領域の面積比の問題(2003年東工大1)

[B]放物線と3直線が囲む領域の面積の問題(2007年阪大文系1)

[B]線対称な2つの3次関数が囲む面積の問題(2007年阪大理系4)

[C]3次関数と接線が囲む面積の問題(2014年東工大5)

[C]3次関数と直線が囲む面積の最小値の問題(2012年東工大3)

[C]3次関数と接線が囲む面積の問題(2019年一橋大3


●絶対値記号付き3次関数の問題
[B]3次関数と絶対値グラフとの交点の数の問題(2012年一橋大2)

[B]絶対値記号付き3次関数の微分可能性の問題(2016年東京医科大3)

[C]絶対値記号付き3次関数の最大値の問題(2015年東京医科歯科大2)

[C]絶対値記号付き3次関数の最大値の最小値の問題(2016年一橋大4)

[C]三角関数を含む絶対値記号付き3次関数の最小値の問題(2006年東大文科4)


3次関数の応用問題
[C]回転する直方体の通過領域の体積の問題(2010年東大理科1)

[C]3次関数の入れ子の問題(2004年東大文3理4)

[D]3次の対称式の値域を調べる問題(2012年京大文3理3)
頻出パターンの問題ですが実数条件の変換など、むずかしい問題といえます。