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●文系微積分の定積分公式

2次関数、3次関数、4次関数には、次の3つの定積分公式があります。2次関数の場合の公式は「常識」です。積分には正負の符号が付きますが、面積の符号は正であることに要注意です。結果のつじつまが合うように符号を追加する必要があります。
どの場合も、定積分の計算の結果の多項式が、積分区間の端を中心としたべき乗になるので、一方の端で0になるため、計算が簡単になります。

●2次関数の場合
2次関数と直線が交差する2点のx座標をα、β(α<β)として、S=|(β-α)^3/6|
3次関数の場合
3次関数と接線が交差する点のx座標をα、β(α<β)として、S=(β-α)^4/12
4次関数の場合
4次関数と二重接線の接点のx座標をα、β(α<β)として、S=|(β-α)^5/30|
これらの公式は、2次関数と直線の方程式を仮定して面積を計算しますが、被積分関数は2次の係数が1の2次関数に過ぎず、その2次関数積分は交点座標だけで得られます。以下にその詳細を示します。

3次関数・4次関数の場合の公式は、そのまま利用しなければならないことはほとんどなく、誘導付きであったりしますが、知っていると便利です。4次関数の場合は、n次関数のなかで初めて「二重接線」が可能になります。この公式も、実際にはあまり利用されず、地道に接線を求める過程が出題されます。
なお、この主題を例題にすると次のようになります。