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[14]確率漸化式の問題

●確率漸化式を自分で作って解く問題
 このパターンは難関校で頻出します。その中でも比較的やさしい問題が2014年に京大理系や一橋大で出題されました。東大や慶應大医学部などの難関大では、漸化式だけの問題はまず出題されず、整数などの新記号と絡めるか、確率と絡める問題が大半です。
 そして難関校では漸化式の解き方に誘導が示されないので、自分で解き切らなければなりません。慣れておかないとまず解けないのですが、市販の参考書ではほとんど取り上げられていないので、入試問題に対しては特別な対策が必要です。
 確率漸化式の問題は、確率漸化式の数が多くなると難しくなります。最初は直線上の移動の問題など、漸化式1つの問題をマスターし、次に2つ以上の問題に進むとよいでしょう。それも、三角形の頂点の移動の問題では最初は複数の漸化式が必要で、すぐに1つの漸化式に帰着させるので、次の順番でマスターするのが適当でしょう。

  1. 確率漸化式が1個の直線上の移動の問題
  2. 連立漸化式を単独漸化式に直して解く三角形の頂点の移動の問題
  3. 確率漸化式が1個の移動以外の問題
  4. 確率漸化式が2個の問題
  5. 割り算の確率の問題
  6. 連立漸化式を自分で作って解く難問群
  7. 慶應/医の確率漸化式の問題

 特に慶應/医では、毎年同じようなパターンであって、漸化式の数がほぼ3つ以上の、かなり難しい長文の問題が出題されているので、これらは[7]として分離して紹介します。

[1] 直線上の移動の問題
冒頭に、比較的やさしい直線上の移動の問題を2題集めてみました。まずはこれらの問題から始めてください。3つ目は難問です。
[B]単独漸化式を作って解く直線上の移動の問題(2015年横浜市大/医11)

[B]単独漸化式を作って解く直線上の移動の問題(2014年一橋大5)

[C]数直線上の移動の確率に関する漸化式の問題(2001年東大文3理6)

[D]確率漸化式を使って解く難問(2019年千葉大/医12)


[2] 三角形や正四面体上の頂点の移動の問題
移動場所が三角形の頂点に変わっただけで、難易度はあまり変わらない問題群です。連立漸化式もすぐに消去できます。
[B]連立漸化式を単独漸化式に直して解く三角形上の問題(2014年京大理系2)

[B]連立漸化式を単独漸化式に直して解く三角形上の問題(2015年日本医科大11

[B]正四面体の頂点を移動する確率漸化式の問題(2000年東大文科3)

[B]四角錐の頂点上の移動を確率漸化式で解く問題(2007年京大文系12)


[3] 確率漸化式が1個の移動以外の問題
漸化式の数が2つ以上よりは1つの方が問題はやさしくなります。
[C]単独漸化式を作って解くサイコロゲームの問題(2014年慶應大/理工2)

[C]単独漸化式を作って解くコインゲームの問題(2015年慶應大/環境情報1)

[C]単独漸化式を作って解く文字ならべの問題(2017年東工大4)

[C]確率漸化式で解く破産の確率の問題(2018年順天堂/医2)

[D]積み上げたカードの並べ替えの確率漸化式の問題(2018年千葉大/医11)


[4] 連立確率漸化式を自分で作って解く問題
[京極式記述法]
この解法は次のように、縦に発生源を横に結果を並べて漸化式を記述すると解きやすくなります。縦の発生源は合計=1になるように書きます。これは下記の「[D]3つの座標の移動の問題(2014年慶応大/医)」の場合です。この方式を本稿では「表形式記述法」と呼びます。筆者の発案なので、「京極式」といってもよいと思います。

次に示すのは、比較的やさしい連立確率漸化式の問題群です。
[C]もっとも簡単な連立確率漸化式の問題(2011年一橋大5)
これは上の「京極式」の考え方が不要なくらい簡単な問題です。

[C]さいころの上面の目の期待値の連立漸化式の問題(2012年一橋大5)

[C]連立漸化式を作って解くコインの問題(2016年一橋大3)

[C]複素数平面上の移動の連立漸化式の問題(2018年京大理系4


[C]連立漸化式を作って解く格子上の移動の問題(2016年京大理系5)

[C]硬貨が減りゆくゲームがn回以上続く確率の問題(2002年一橋大5)
別解の連立確率漸化式による解法では未定係数法が必須です。


[5] 割り算の確率の問題
出題数があまり多くはない類題傾向ですが、これらは難問になります。
[C]単独確率漸化式を作って解く割り算の問題(1994年京大文系4)

[C]割り切れる確率の問題(2013年一橋大5)

[C]割り切れる確率の連立漸化式の問題(2017年京大理系6)

[C]連立漸化式を作って解くサイコロの目の割り算の問題(2014年阪大理系5)


[6] 連立漸化式を自分で作って解く難問群
[C]立方体の頂点を移動する2つの点の確率の問題(2010年阪大理系5)

[D]連立漸化式を作って解くコインの裏表の問題(2016年慶応理工3)

[D]連立漸化式を作って解く三角形内の移動の問題(2012年東大文3理2)

[D]4つの連立漸化式が必要な空間内移動の問題 (2018年東工大5)

[D]連立漸化式を作って解く区間内移動の難問(2015年京大理系6)

[D]連立漸化式を作って解くカード交換の問題(2008年東大文2理2)

[D]連立漸化式を作って解く文字ならべの問題(2015年東大文4理2)

[D]板3枚を裏返す連立漸化式を解くかなり難しい問題(2004年東大文4理6)

[D]確率漸化式を作って解くサイコロの目に関する問題(2012年京大理系6)

[参考問題]
[E]重複順列の連立漸化式を作って解く問題(2014年東京医科歯科大1)


[7] 慶應/医の確率漸化式問題の難問群
この大学では、毎年長文で複雑な問題が出題されるので、分離してまとめておきます。
[C]慶應にしてはやさし目な連立確率漸化式の問題(2019年慶応大/医2)

[C]4つの連立漸化式を作って解く赤球の個数の問題(2013年慶応大/医2)

[C]3つの座標の移動の問題(2014年慶応大/医2)

[C]連立漸化式を作って解く3点上の移動の問題(2015年慶応大/医2)

[C]連立漸化式を作って解く三角形の頂点上の移動の問題(2016年慶応大/医2)

[C]単独漸化式を作って解く球数の問題(2017年慶應大/医2)

[C]2つの袋に入っているカードの枚数の確率の問題(2018年慶大/医2)